---

Step * 1 1 1 of Lemma converges-to-cauchy-limit


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. c : cauchy(n.x[n])
3. (λconverges.let y,c = converges 
               in λk.(c (2 * k)))
= (λconverges.let y,c = converges 
              in λk.(c (2 * k)))
∈ (x[n]↓ as n→∞ ⟶ cauchy(n.x[n]))
4. λcauchy.<accelerate(2;λn.(x (cauchy n) n)), λk.((cauchy (4 * k)) + 1)> ∈ cauchy(n.x[n]) ⟶ x[n]↓ as n→∞
⊢ lim n→∞.x n = fst(((λcauchy.<accelerate(2;λn.(x (cauchy n) n)), λk.((cauchy (4 * k)) + 1)>) c))
BY
{ GenConcl ⌜((λcauchy.<accelerate(2;λn.(x (cauchy n) n)), λk.((cauchy (4 * k)) + 1)>) c) = z ∈ x[n]↓ as n→∞⌝⋅ }

1
.....wf..... 
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. c : cauchy(n.x[n])
3. (λconverges.let y,c = converges 
               in λk.(c (2 * k)))
= (λconverges.let y,c = converges 
              in λk.(c (2 * k)))
∈ (x[n]↓ as n→∞ ⟶ cauchy(n.x[n]))
4. λcauchy.<accelerate(2;λn.(x (cauchy n) n)), λk.((cauchy (4 * k)) + 1)> ∈ cauchy(n.x[n]) ⟶ x[n]↓ as n→∞
⊢ (λcauchy.<accelerate(2;λn.(x (cauchy n) n)), λk.((cauchy (4 * k)) + 1)>) c ∈ x[n]↓ as n→∞

2
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. c : cauchy(n.x[n])
3. (λconverges.let y,c = converges 
               in λk.(c (2 * k)))
= (λconverges.let y,c = converges 
              in λk.(c (2 * k)))
∈ (x[n]↓ as n→∞ ⟶ cauchy(n.x[n]))
4. λcauchy.<accelerate(2;λn.(x (cauchy n) n)), λk.((cauchy (4 * k)) + 1)> ∈ cauchy(n.x[n]) ⟶ x[n]↓ as n→∞
5. z : x[n]↓ as n→∞
6. ((λcauchy.<accelerate(2;λn.(x (cauchy n) n)), λk.((cauchy (4 * k)) + 1)>) c) = z ∈ x[n]↓ as n→∞
⊢ lim n→∞.x n = fst(z)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  c  :  cauchy(n.x[n])
3.  (\mlambda{}converges.let  y,c  =  converges 
                              in  \mlambda{}k.(c  (2  *  k)))
=  (\mlambda{}converges.let  y,c  =  converges 
                            in  \mlambda{}k.(c  (2  *  k)))
4.  \mlambda{}cauchy.<accelerate(2;\mlambda{}n.(x  (cauchy  n)  n)),  \mlambda{}k.((cauchy  (4  *  k))  +  1)>  \mmember{}  cauchy(n.x[n])
      {}\mrightarrow{}  x[n]\mdownarrow{}  as  n\mrightarrow{}\minfty{}
\mvdash{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x  n  =  fst(((\mlambda{}cauchy.<accelerate(2;\mlambda{}n.(x  (cauchy  n)  n)),  \mlambda{}k.((cauchy  (4  *  k))  +  1)>)  c))


By

---

Latex:
GenConcl  \mkleeneopen{}((\mlambda{}cauchy.<accelerate(2;\mlambda{}n.(x  (cauchy  n)  n)),  \mlambda{}k.((cauchy  (4  *  k))  +  1)>)  c)  =  z\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index