---

Step * 1 2 of Lemma convex-negative-nonzero-on


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (f[x] < r0))
5. convex-on(I;x.f[x])
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. i-approx(I;m) ⊆ I 
8. left-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
9. right-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
10. r0 < rmin(-(f[left-endpoint(i-approx(I;m))]);-(f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))
11. x : ℝ
12. x ∈ i-approx(I;m)
⊢ rmin(-(f[left-endpoint(i-approx(I;m))]);-(f[right-endpoint(i-approx(I;m))])) ≤ |f[x]|
BY
{ ((InstHyp [⌜x⌝] 4⋅ THENA Auto)
   THEN RWO "rabs-of-nonpos" 0
   THEN Auto
   THEN nRMul ⌜r(-1)⌝ 0⋅
   THEN Auto
   THEN (RWO "rminus-rmin" 0 THENA Auto)
   THEN (nRNorm 0 THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (f[x] < r0))
5. convex-on(I;x.f[x])
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. i-approx(I;m) ⊆ I 
8. left-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
9. right-endpoint(i-approx(I;m)) ∈ I
10. r0 < rmin(-(f[left-endpoint(i-approx(I;m))]);-(f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))
11. x : ℝ
12. x ∈ i-approx(I;m)
13. f[x] < r0
⊢ f[x] ≤ rmax(f[left-endpoint(i-approx(I;m))];f[right-endpoint(i-approx(I;m))])

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  <  r0))
5.  convex-on(I;x.f[x])
6.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
7.  i-approx(I;m)  \msubseteq{}  I 
8.  left-endpoint(i-approx(I;m))  \mmember{}  I
9.  right-endpoint(i-approx(I;m))  \mmember{}  I
10.  r0  <  rmin(-(f[left-endpoint(i-approx(I;m))]);-(f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))
11.  x  :  \mBbbR{}
12.  x  \mmember{}  i-approx(I;m)
\mvdash{}  rmin(-(f[left-endpoint(i-approx(I;m))]);-(f[right-endpoint(i-approx(I;m))]))  \mleq{}  |f[x]|


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  4\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RWO  "rabs-of-nonpos"  0
  THEN  Auto
  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(-1)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (RWO  "rminus-rmin"  0  THENA  Auto)
  THEN  (nRNorm  0  THENA  Auto))

---

Home Index