---

Step * 2 2 1 of Lemma cosine-poly-approx-1


1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤i} - cosine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |cosine(x) - Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. n : ℕ
11. 0 ≤ n
12. r0 ≤ (x^2 * n)/(2 * n)!
⊢ (x^2 * (n + 1))/((2 * n) + 2) * ((2 * n) + 1) * (2 * n)! ≤ (x^2 * n)/(2 * n)!
BY
{ ((GenConcl ⌜(2 * n)! = M ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜((2 * n) + 2) = A ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜((2 * n) + 1) = B ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤i} - cosine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |cosine(x) - Σ{-1^i * (x^2 * i)/(2 * i)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. n : ℕ
11. 0 ≤ n
12. r0 ≤ (x^2 * n)/(2 * n)!
13. M : ℕ+
14. (2 * n)! = M ∈ ℕ+
15. A : ℕ+
16. ((2 * n) + 2) = A ∈ ℕ+
17. B : ℕ+
18. ((2 * n) + 1) = B ∈ ℕ+
⊢ (x^2 * (n + 1))/A * B * M ≤ (x^2 * n)/M

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\} 
2.  k  :  \mBbbN{}
3.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
4.  k1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (r1/r(k1))  <  e
6.  N  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  i)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}2  *  i)/(2  *  i)!  |  0\mleq{}i\mleq{}i\}  -  cosine(x)|  \mleq{}  (r1/r(k1))))
8.  |cosine(x)  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}2  *  i)/(2  *  i)!  |  0\mleq{}i\mleq{}N\}|  \mleq{}  (r1/r(k1))
9.  \mneg{}(N  \mleq{}  k)
10.  n  :  \mBbbN{}
11.  0  \mleq{}  n
12.  r0  \mleq{}  (x\^{}2  *  n)/(2  *  n)!
\mvdash{}  (x\^{}2  *  (n  +  1))/((2  *  n)  +  2)  *  ((2  *  n)  +  1)  *  (2  *  n)!  \mleq{}  (x\^{}2  *  n)/(2  *  n)!


By

---

Latex:
((GenConcl  \mkleeneopen{}(2  *  n)!  =  M\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}((2  *  n)  +  2)  =  A\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}((2  *  n)  +  1)  =  B\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index