---

Step * of Lemma countable-Heine-Borel-proper

No Annotations
∀a:ℝ. ∀b:{b:ℝ| a < b} .
  ∀[C:ℕ ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℙ]
    ((∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} | x = y} .  (C[n;x] ⇒ C[n;y]))
    ⇒ (∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∃n:ℕ. C[n;x])
    ⇒ (∃k:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∃n:ℕk. C[n;x]))
BY
{ (Auto
   THEN (Assert ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)] BY
               (Auto THEN BackThruSomeHyp THEN DVar `b' THEN Unhide THEN Auto))
   THEN (Assert ⌜∃k:ℕ. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]⌝⋅ THENM (ParallelLast THEN (D 0 THENA Auto)))) }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. [C] : ℕ ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℙ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} | x = y} .  (C[n;x] ⇒ C[n;y])
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∃n:ℕ. C[n;x]
6. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
⊢ ∃k:ℕ. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. [C] : ℕ ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℙ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} | x = y} .  (C[n;x] ⇒ C[n;y])
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ∃n:ℕ. C[n;x]
6. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕ. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
7. k : ℕ
8. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃n:ℕk. C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]
9. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
⊢ ∃n:ℕk. C[n;x]

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}a:\mBbbR{}.  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  a  <  b\}  .
    \mforall{}[C:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}]
        ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mforall{}y:\{y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  |  x  =  y\}  .    (C[n;x]  {}\mRightarrow{}  C[n;y]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mexists{}n:\mBbbN{}.  C[n;x])
        {}\mRightarrow{}  (\mexists{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  C[n;x]))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (Assert  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]  BY
                          (Auto  THEN  BackThruSomeHyp  THEN  DVar  `b'  THEN  Unhide  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  C[n;cantor-to-interval(a;b;f)]\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  (ParallelLast  THEN  (D  0  THENA  Auto))
  ))

---

Home Index