---

Step * 2 1 of Lemma dense-in-interval-implies


1. I : Interval
2. [X] : {a:ℝ| a ∈ I}  ⟶ ℙ
3. dense-in-interval(I;X)
4. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. ∃b:{b:ℝ| b ∈ I} . ((X b) ∧ b ≠ a)
6. ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} . ∃c:{c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} . ((X c) ∧ (|c - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)))
7. g : b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a}  ⟶ {c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} 
8. ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} . ((X (g b)) ∧ (|(g b) - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)))
⊢ ∃x:ℕ ⟶ {a:ℝ| a ∈ I} . ((∀n:ℕ. (X (x n))) ∧ lim n→∞.x n = a)
BY
{ ((ExRepD THEN (Assert ∀n:ℕ. (primrec(n;b;λi,x. (g x)) ∈ {c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} ) BY Auto))
   THEN (D 0 With ⌜λn.primrec(n;b;λi,x. (g x))⌝  THENW Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN D 0) }

1
1. I : Interval
2. [X] : {a:ℝ| a ∈ I}  ⟶ ℙ
3. dense-in-interval(I;X)
4. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. b : {b:ℝ| b ∈ I} 
6. X b
7. b ≠ a
8. ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} . ∃c:{c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} . ((X c) ∧ (|c - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)))
9. g : b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a}  ⟶ {c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} 
10. ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} . ((X (g b)) ∧ (|(g b) - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)))
11. ∀n:ℕ. (primrec(n;b;λi,x. (g x)) ∈ {c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} )
⊢ ∀n:ℕ. (X primrec(n;b;λi,x. (g x)))

2
1. I : Interval
2. [X] : {a:ℝ| a ∈ I}  ⟶ ℙ
3. dense-in-interval(I;X)
4. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. b : {b:ℝ| b ∈ I} 
6. X b
7. b ≠ a
8. ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} . ∃c:{c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} . ((X c) ∧ (|c - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)))
9. g : b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a}  ⟶ {c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} 
10. ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ b ≠ a} . ((X (g b)) ∧ (|(g b) - a| ≤ ((r1/r(2)) * |b - a|)))
11. ∀n:ℕ. (primrec(n;b;λi,x. (g x)) ∈ {c:ℝ| (c ∈ I) ∧ c ≠ a} )
⊢ lim n→∞.primrec(n;b;λi,x. (g x)) = a

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  [X]  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  dense-in-interval(I;X)
4.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
5.  \mexists{}b:\{b:\mBbbR{}|  b  \mmember{}  I\}  .  ((X  b)  \mwedge{}  b  \mneq{}  a)
6.  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  b  \mneq{}  a\}  .  \mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  (c  \mmember{}  I)  \mwedge{}  c  \mneq{}  a\}  .  ((X  c)  \mwedge{}  (|c  -  a|  \mleq{}  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|)\000C))
7.  g  :  b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  b  \mneq{}  a\}    {}\mrightarrow{}  \{c:\mBbbR{}|  (c  \mmember{}  I)  \mwedge{}  c  \mneq{}  a\} 
8.  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  b  \mneq{}  a\}  .  ((X  (g  b))  \mwedge{}  (|(g  b)  -  a|  \mleq{}  ((r1/r(2))  *  |b  -  a|)))
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  (X  (x  n)))  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x  n  =  a)


By

---

Latex:
((ExRepD  THEN  (Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (primrec(n;b;\mlambda{}i,x.  (g  x))  \mmember{}  \{c:\mBbbR{}|  (c  \mmember{}  I)  \mwedge{}  c  \mneq{}  a\}  )  BY  Auto))
  THEN  (D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}n.primrec(n;b;\mlambda{}i,x.  (g  x))\mkleeneclose{}    THENW  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  D  0)

---

Home Index