---

Step * 1 1 1 of Lemma derivative_unique


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. g1 : I ⟶ℝ
5. g2 : I ⟶ℝ
6. x : ℝ
7. x ∈ I
8. m : ℕ+
9. n : ℕ+
10. iproper(i-approx(I;n))
11. x ∈ i-approx(I;n)
12. icompact(i-approx(I;n))
13. del : ℝ
14. r0 < del
15. ∀x,y:ℝ.
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ del)
      ⇒ (|f[y] - f[x] - g2[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(2 * m)) * |y - x|)))
16. d1 : ℝ
17. r0 < d1
18. ∀x,y:ℝ.
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ d1)
      ⇒ (|f[y] - f[x] - g1[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(2 * m)) * |y - x|)))
⊢ |g1(x) - g2(x)| ≤ (r1/r(m))
BY
{ (Assert ⌜∃y:ℝ. ((y ∈ I) ∧ (y ∈ i-approx(I;n)) ∧ (|y - x| ≤ del) ∧ (|y - x| ≤ d1) ∧ (r0 < |y - x|))⌝⋅ THEN ExRepD) }

1
.....assertion..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. g1 : I ⟶ℝ
5. g2 : I ⟶ℝ
6. x : ℝ
7. x ∈ I
8. m : ℕ+
9. n : ℕ+
10. iproper(i-approx(I;n))
11. x ∈ i-approx(I;n)
12. icompact(i-approx(I;n))
13. del : ℝ
14. r0 < del
15. ∀x,y:ℝ.
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ del)
      ⇒ (|f[y] - f[x] - g2[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(2 * m)) * |y - x|)))
16. d1 : ℝ
17. r0 < d1
18. ∀x,y:ℝ.
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ d1)
      ⇒ (|f[y] - f[x] - g1[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(2 * m)) * |y - x|)))
⊢ ∃y:ℝ. ((y ∈ I) ∧ (y ∈ i-approx(I;n)) ∧ (|y - x| ≤ del) ∧ (|y - x| ≤ d1) ∧ (r0 < |y - x|))

2
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. g1 : I ⟶ℝ
5. g2 : I ⟶ℝ
6. x : ℝ
7. x ∈ I
8. m : ℕ+
9. n : ℕ+
10. iproper(i-approx(I;n))
11. x ∈ i-approx(I;n)
12. icompact(i-approx(I;n))
13. del : ℝ
14. r0 < del
15. ∀x,y:ℝ.
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ del)
      ⇒ (|f[y] - f[x] - g2[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(2 * m)) * |y - x|)))
16. d1 : ℝ
17. r0 < d1
18. ∀x,y:ℝ.
      ((x ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
      ⇒ (|y - x| ≤ d1)
      ⇒ (|f[y] - f[x] - g1[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(2 * m)) * |y - x|)))
19. y : ℝ
20. y ∈ I
21. y ∈ i-approx(I;n)
22. |y - x| ≤ del
23. |y - x| ≤ d1
24. r0 < |y - x|
⊢ |g1(x) - g2(x)| ≤ (r1/r(m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  g1  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  g2  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  x  :  \mBbbR{}
7.  x  \mmember{}  I
8.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  iproper(i-approx(I;n))
11.  x  \mmember{}  i-approx(I;n)
12.  icompact(i-approx(I;n))
13.  del  :  \mBbbR{}
14.  r0  <  del
15.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
            ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
            {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
            {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  del)
            {}\mRightarrow{}  (|f[y]  -  f[x]  -  g2[x]  *  (y  -  x)|  \mleq{}  ((r1/r(2  *  m))  *  |y  -  x|)))
16.  d1  :  \mBbbR{}
17.  r0  <  d1
18.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
            ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
            {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
            {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  d1)
            {}\mRightarrow{}  (|f[y]  -  f[x]  -  g1[x]  *  (y  -  x)|  \mleq{}  ((r1/r(2  *  m))  *  |y  -  x|)))
\mvdash{}  |g1(x)  -  g2(x)|  \mleq{}  (r1/r(m))


By

---

Latex:
(Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}y:\mBbbR{}.  ((y  \mmember{}  I)  \mwedge{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))  \mwedge{}  (|y  -  x|  \mleq{}  del)  \mwedge{}  (|y  -  x|  \mleq{}  d1)  \mwedge{}  (r0  <  |y  -  x|))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  ExRepD
  )

---

Home Index