---

Step * 1 of Lemma fun-comparison-test


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|f[n;x]| ≤ g[n;x])
5. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
6. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|Σ{g[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{g[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))
⊢ ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|Σ{f[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{f[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))
BY
{ Assert ⌜∀k:ℕ+. ∀large(n).∀m:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} .  (Σ{g[i;x] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k)))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|f[n;x]| ≤ g[n;x])
5. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
6. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|Σ{g[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{g[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))
⊢ ∀k:ℕ+. ∀large(n).∀m:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} .  (Σ{g[i;x] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k)))

2
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|f[n;x]| ≤ g[n;x])
5. a : {a:ℕ+| icompact(i-approx(I;a))} 
6. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|Σ{g[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{g[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))
7. ∀k:ℕ+. ∀large(n).∀m:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} .  (Σ{g[i;x] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k)))
⊢ ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;a)} . ∀n,m:{N...}.  (|Σ{f[i;x] | 0≤i≤n} - Σ{f[i;x] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (|f[n;x]|  \mleq{}  g[n;x])
5.  a  :  \{a:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;a))\} 
6.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}
          \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
            \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .  \mforall{}n,m:\{N...\}.
                (|\mSigma{}\{g[i;x]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  \mSigma{}\{g[i;x]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}|  \mleq{}  (r1/r(k)))
\mvdash{}  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}
        \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
          \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .  \mforall{}n,m:\{N...\}.
              (|\mSigma{}\{f[i;x]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  \mSigma{}\{f[i;x]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}|  \mleq{}  (r1/r(k)))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}large(n).\mforall{}m:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;a)\}  .    (\mSigma{}\{g[i;x]  |  n  +  1\mleq{}i\mleq{}m\}  \mleq{}  (r1/r(k)))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index