---

Step * 2 1 1 of Lemma fun-converges-iff-cauchy


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. λn.f[n;x] is cauchy for x ∈ I
4. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ∃y:ℝ. lim n→∞.f[n;x] = y
5. g : x:{x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ ℝ
6. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . lim n→∞.f[n;x] = g x
⊢ lim n→∞.f[n;x] = λy.g y for x ∈ I
BY
{ (D 0 THEN Auto THEN (With ⌜m⌝ (D 3)⋅ THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ∃y:ℝ. lim n→∞.f[n;x] = y
4. g : x:{x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . lim n→∞.f[n;x] = g x
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. k : ℕ+
8. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n,m:{N...}.  (|f[n;x] - f[m;x]| ≤ (r1/r(k)))
⊢ ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - g x| ≤ (r1/r(k)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mlambda{}n.f[n;x]  is  cauchy  for  x  \mmember{}  I
4.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  \mexists{}y:\mBbbR{}.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f[n;x]  =  y
5.  g  :  x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
6.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f[n;x]  =  g  x
\mvdash{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f[n;x]  =  \mlambda{}y.g  y  for  x  \mmember{}  I


By

---

Latex:
(D  0  THEN  Auto  THEN  (With  \mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}  (D  3)\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index