---

Step * 1 of Lemma fun-converges-to-sine


1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! = sine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. n : ℕ
7. m ≤ n
⊢ |(x^(2 * (n + 1)) + 1)/((2 * (n + 1)) + 1)!| ≤ ((r1/r(4)) * |(x^(2 * n) + 1)/((2 * n) + 1)!|)
BY
{ ((Assert r0 < r(((2 * n) + 1)!) BY
          Auto)
   THEN (Assert r0 < r(((2 * (n + 1)) + 1)!) BY
               Auto)
   THEN RWO "int-rdiv-req" 0
   THEN Auto
   THEN (Assert |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = r(((2 * (n + 1)) + 1)!) BY
               (RWO "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto))
   THEN (Assert |r(((2 * n) + 1)!)| = r(((2 * n) + 1)!) BY
               (RWO "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto))) }

1
1. ∀x:ℝ. Σi.-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! = sine(x)
2. m : ℕ+
3. r0 ≤ (r1/r(4))
4. (r1/r(4)) < r1
5. x : {x:ℝ| |x| ≤ r(m)} 
6. n : ℕ
7. m ≤ n
8. r0 < r(((2 * n) + 1)!)
9. r0 < r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
10. |r(((2 * (n + 1)) + 1)!)| = r(((2 * (n + 1)) + 1)!)
11. |r(((2 * n) + 1)!)| = r(((2 * n) + 1)!)
⊢ |(x^(2 * (n + 1)) + 1/r(((2 * (n + 1)) + 1)!))| ≤ ((r1/r(4)) * |(x^(2 * n) + 1/r(((2 * n) + 1)!))|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mSigma{}i.-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  =  sine(x)
2.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  r0  \mleq{}  (r1/r(4))
4.  (r1/r(4))  <  r1
5.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\} 
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  m  \mleq{}  n
\mvdash{}  |(x\^{}(2  *  (n  +  1))  +  1)/((2  *  (n  +  1))  +  1)!|  \mleq{}  ((r1/r(4))  *  |(x\^{}(2  *  n)  +  1)/((2  *  n)  +  1)!|)


By

---

Latex:
((Assert  r0  <  r(((2  *  n)  +  1)!)  BY
                Auto)
  THEN  (Assert  r0  <  r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)  BY
                          Auto)
  THEN  RWO  "int-rdiv-req"  0
  THEN  Auto
  THEN  (Assert  |r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)|  =  r(((2  *  (n  +  1))  +  1)!)  BY
                          (RWO  "rabs-of-nonneg"  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  |r(((2  *  n)  +  1)!)|  =  r(((2  *  n)  +  1)!)  BY
                          (RWO  "rabs-of-nonneg"  0  THEN  Auto)))

---

Home Index