---

Step * 1 1 of Lemma fun-converges_functionality


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. g1 : I ⟶ℝ
5. ∀m:{m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} . ∀k:ℕ+.
     ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - g1 x| ≤ (r1/r(k)))
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - g1 x| ≤ (r1/r(k)))
8. k : ℕ+
9. N : ℕ+
10. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - g1 x| ≤ (r1/r(k)))
11. x : ℝ
12. x ∈ i-approx(I;m)
13. ∀n:{N...}. (|f[n;x] - g1 x| ≤ (r1/r(k)))
14. n : {N...}
15. |f[n;x] - g1 x| ≤ (r1/r(k))
16. rfun-eq(I;f n;g n)
17. x ∈ I
⊢ |g[n;x] - g1 x| ≤ (r1/r(k))
BY
{ (With ⌜x⌝ (D (-2))⋅ THENA Auto) }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. g1 : I ⟶ℝ
5. ∀m:{m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} . ∀k:ℕ+.
     ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - g1 x| ≤ (r1/r(k)))
6. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
7. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - g1 x| ≤ (r1/r(k)))
8. k : ℕ+
9. N : ℕ+
10. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - g1 x| ≤ (r1/r(k)))
11. x : ℝ
12. x ∈ i-approx(I;m)
13. ∀n:{N...}. (|f[n;x] - g1 x| ≤ (r1/r(k)))
14. n : {N...}
15. |f[n;x] - g1 x| ≤ (r1/r(k))
16. x ∈ I
17. f n(x) = g n(x)
⊢ |g[n;x] - g1 x| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  g  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  g1  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}m:\{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\}  .  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.
          \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n:\{N...\}.    (|f[n;x]  -  g1  x|  \mleq{}  (r1/r(k)))
6.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
7.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n:\{N...\}.    (|f[n;x]  -  g1  x|  \mleq{}  (r1/r(k)))
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n:\{N...\}.    (|f[n;x]  -  g1  x|  \mleq{}  (r1/r(k)))
11.  x  :  \mBbbR{}
12.  x  \mmember{}  i-approx(I;m)
13.  \mforall{}n:\{N...\}.  (|f[n;x]  -  g1  x|  \mleq{}  (r1/r(k)))
14.  n  :  \{N...\}
15.  |f[n;x]  -  g1  x|  \mleq{}  (r1/r(k))
16.  rfun-eq(I;f  n;g  n)
17.  x  \mmember{}  I
\mvdash{}  |g[n;x]  -  g1  x|  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
(With  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}  (D  (-2))\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index