---

Step * 1 3 2 of Lemma fun-ratio-test


1. c : ℝ
2. r0 ≤ c
3. c < r1
4. N : ℕ
5. I : Interval
6. g : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. g[n;x] continuous for x ∈ I
8. icompact(I)
9. ∀n:{N...}. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g[n + 1;x]| ≤ (c * |g[n;x]|))
10. ∀n:ℕ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} .  (|g[N + n;x]| ≤ (c^n * |g[N;x]|))
11. n : ℕ
12. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
⊢ |λi,x. |g[i;x]|[n;x]| ≤ λi,x. if N ≤z i then c^i - N * |g[N;x]| else |g[i;x]| fi [n;x]
BY
{ TACTIC:(RepUR ``so_apply`` 0
          THEN RWO "rabs-rabs" 0⋅
          THEN Auto
          THEN AutoSplit⋅
          THEN RWO "-4<" 0
          THEN Auto
          THEN Subst ⌜N + (n - N) ~ n⌝ 0⋅
          THEN Auto
          THEN RepUR ``so_apply`` 0⋅
          THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  c  :  \mBbbR{}
2.  r0  \mleq{}  c
3.  c  <  r1
4.  N  :  \mBbbN{}
5.  I  :  Interval
6.  g  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  g[n;x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
8.  icompact(I)
9.  \mforall{}n:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (|g[n  +  1;x]|  \mleq{}  (c  *  |g[n;x]|))
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (|g[N  +  n;x]|  \mleq{}  (c\^{}n  *  |g[N;x]|))
11.  n  :  \mBbbN{}
12.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
\mvdash{}  |\mlambda{}i,x.  |g[i;x]|[n;x]|  \mleq{}  \mlambda{}i,x.  if  N  \mleq{}z  i  then  c\^{}i  -  N  *  |g[N;x]|  else  |g[i;x]|  fi  [n;x]


By

---

Latex:
TACTIC:(RepUR  ``so\_apply``  0
                THEN  RWO  "rabs-rabs"  0\mcdot{}
                THEN  Auto
                THEN  AutoSplit\mcdot{}
                THEN  RWO  "-4<"  0
                THEN  Auto
                THEN  Subst  \mkleeneopen{}N  +  (n  -  N)  \msim{}  n\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                THEN  Auto
                THEN  RepUR  ``so\_apply``  0\mcdot{}
                THEN  Auto)

---

Home Index