---

Step * 1 of Lemma function-diff-small-or-interval-proper


1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
4. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. e : {e:ℝ| r0 < e} 
6. f[x] continuous for x ∈ I
7. [rmin(x;y), rmax(x;y)] ⊆ I 
8. k : ℕ+
9. (r1/r(k)) < e
10. d : ℝ
11. r0 < d
12. ∀x@0,y@0:ℝ.
      (((rmin(x;y) ≤ x@0) ∧ (x@0 ≤ rmax(x;y)))
      ⇒ ((rmin(x;y) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ rmax(x;y)))
      ⇒ (|x@0 - y@0| ≤ d)
      ⇒ (|f[x@0] - f[y@0]| ≤ (r1/r(k))))
⊢ (|f[x] - f[y]| ≤ e) ∨ (r0 < |x - y|)
BY
{ ((InstLemma `rless-cases` [⌜r0⌝;⌜d⌝;⌜|x - y|⌝]⋅ THENA Auto) THEN D -1 THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
4. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
5. e : {e:ℝ| r0 < e} 
6. f[x] continuous for x ∈ I
7. [rmin(x;y), rmax(x;y)] ⊆ I 
8. k : ℕ+
9. (r1/r(k)) < e
10. d : ℝ
11. r0 < d
12. ∀x@0,y@0:ℝ.
      (((rmin(x;y) ≤ x@0) ∧ (x@0 ≤ rmax(x;y)))
      ⇒ ((rmin(x;y) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ rmax(x;y)))
      ⇒ (|x@0 - y@0| ≤ d)
      ⇒ (|f[x@0] - f[y@0]| ≤ (r1/r(k))))
13. |x - y| < d
⊢ (|f[x] - f[y]| ≤ e) ∨ (r0 < |x - y|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
4.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
5.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
6.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
7.  [rmin(x;y),  rmax(x;y)]  \msubseteq{}  I 
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  (r1/r(k))  <  e
10.  d  :  \mBbbR{}
11.  r0  <  d
12.  \mforall{}x@0,y@0:\mBbbR{}.
            (((rmin(x;y)  \mleq{}  x@0)  \mwedge{}  (x@0  \mleq{}  rmax(x;y)))
            {}\mRightarrow{}  ((rmin(x;y)  \mleq{}  y@0)  \mwedge{}  (y@0  \mleq{}  rmax(x;y)))
            {}\mRightarrow{}  (|x@0  -  y@0|  \mleq{}  d)
            {}\mRightarrow{}  (|f[x@0]  -  f[y@0]|  \mleq{}  (r1/r(k))))
\mvdash{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  e)  \mvee{}  (r0  <  |x  -  y|)


By

---

Latex:
((InstLemma  `rless-cases`  [\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|x  -  y|\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  D  -1  THEN  Auto)

---

Home Index