---

Step * 1 1 1 2 of Lemma has-minimum-maps-compact


1. I : Interval
2. l : ℝ
3. f : I ⟶ℝ
4. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
5. ∀x:{t:ℝ| t ∈ I} . (l < f[x])
6. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a ≤ b)} .  ∃c:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . ∀x:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . (f[c] ≤ f[x])
7. n : ℕ+
8. icompact(i-approx(I;n))
9. i-approx(I;n) ~ [left-endpoint(i-approx(I;n)), right-endpoint(i-approx(I;n))]
10. i-approx(I;n) ⊆ I 
11. left-endpoint(i-approx(I;n)) ≤ right-endpoint(i-approx(I;n))
⊢ (right-endpoint(i-approx(I;n)) ∈ I)
⇒ (left-endpoint(i-approx(I;n)) ∈ I)
⇒ (∃m:{m:ℕ+| icompact(i-approx((l, ∞);m))} 
     ∀x:{x:ℝ| x ∈ [left-endpoint(i-approx(I;n)), right-endpoint(i-approx(I;n))]} . (f[x] ∈ i-approx((l, ∞);m)))
BY
{ (HypSubst (-3) (-2)
   THEN RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN (GenConcl ⌜left-endpoint(i-approx(I;n)) = a ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜right-endpoint(i-approx(I;n)) = b ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN ThinVar `n'
   THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. l : ℝ
3. f : I ⟶ℝ
4. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
5. ∀x:{t:ℝ| t ∈ I} . (l < f[x])
6. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a ≤ b)} .  ∃c:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . ∀x:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . (f[c] ≤ f[x])
7. a : ℝ
8. b : ℝ
9. [a, b] ⊆ I 
10. a ≤ b
11. b ∈ I
12. a ∈ I
⊢ ∃m:{m:ℕ+| icompact(i-approx((l, ∞);m))} . ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (f[x] ∈ i-approx((l, ∞);m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  l  :  \mBbbR{}
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
5.  \mforall{}x:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .  (l  <  f[x])
6.  \mforall{}a:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\}  .
          \mexists{}c:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mforall{}x:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (f[c]  \mleq{}  f[x])
7.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  icompact(i-approx(I;n))
9.  i-approx(I;n)  \msim{}  [left-endpoint(i-approx(I;n)),  right-endpoint(i-approx(I;n))]
10.  i-approx(I;n)  \msubseteq{}  I 
11.  left-endpoint(i-approx(I;n))  \mleq{}  right-endpoint(i-approx(I;n))
\mvdash{}  (right-endpoint(i-approx(I;n))  \mmember{}  I)
{}\mRightarrow{}  (left-endpoint(i-approx(I;n))  \mmember{}  I)
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}m:\{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx((l,  \minfty{});m))\} 
          \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [left-endpoint(i-approx(I;n)),  right-endpoint(i-approx(I;n))]\} 
              (f[x]  \mmember{}  i-approx((l,  \minfty{});m)))


By

---

Latex:
(HypSubst  (-3)  (-2)
  THEN  RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}left-endpoint(i-approx(I;n))  =  a\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}right-endpoint(i-approx(I;n))  =  b\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ThinVar  `n'
  THEN  Auto)

---

Home Index