---

Step * 5 of Lemma i-member-implies


1. y : ℝ
2. y1 : ℝ
3. r : ℝ
4. b : ℕ+
5. r(b) < r(b + 1)
6. r(-(b + 1)) < r(-b)
7. r(-b) ≤ r
8. r ≤ r(b)
9. m1 : ℕ+
10. y ≤ (r - (r1/r(m1)))
11. m : ℕ+
12. r ≤ (y1 - (r1/r(m)))
⊢ ∃n,M:ℕ+
   ((((y + (r1/r(n))) ≤ r) ∧ (r ≤ (y1 - (r1/r(n)))))
   ∧ (∀y@0:{y@0:ℝ| (y < y@0) ∧ (y@0 < y1)} 
        ((((r - (r1/r(M))) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ (r + (r1/r(M))))) ⇒ (((y + (r1/r(n))) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ (y1 - (r1/r(n)))))))
   ∧ (((True ∧ True) ⇒ (y < y1)) ⇒ (True ∧ True) ⇒ ((y + (r1/r(n))) < (y1 - (r1/r(n))))))
BY
{ (Assert ∃M:ℕ+. ((y ≤ (r - (r1/r(M)))) ∧ (r ≤ (y1 - (r1/r(M))))) BY
         ((Assert (m ≤ imax(m;m1)) ∧ (m1 ≤ imax(m;m1)) BY
                 Auto)
          THEN (Assert ((r1/r(imax(m;m1))) ≤ (r1/r(m))) ∧ ((r1/r(imax(m;m1))) ≤ (r1/r(m1))) BY
                      Auto)
          THEN D 0 With ⌜imax(m;m1)⌝ 
          THEN Auto
          THEN (RWO "10" 0 ORELSE RWO "12" 0)
          THEN Auto)) }

1
1. y : ℝ
2. y1 : ℝ
3. r : ℝ
4. b : ℕ+
5. r(b) < r(b + 1)
6. r(-(b + 1)) < r(-b)
7. r(-b) ≤ r
8. r ≤ r(b)
9. m1 : ℕ+
10. y ≤ (r - (r1/r(m1)))
11. m : ℕ+
12. r ≤ (y1 - (r1/r(m)))
13. ∃M:ℕ+. ((y ≤ (r - (r1/r(M)))) ∧ (r ≤ (y1 - (r1/r(M)))))
⊢ ∃n,M:ℕ+
   ((((y + (r1/r(n))) ≤ r) ∧ (r ≤ (y1 - (r1/r(n)))))
   ∧ (∀y@0:{y@0:ℝ| (y < y@0) ∧ (y@0 < y1)} 
        ((((r - (r1/r(M))) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ (r + (r1/r(M))))) ⇒ (((y + (r1/r(n))) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ (y1 - (r1/r(n)))))))
   ∧ (((True ∧ True) ⇒ (y < y1)) ⇒ (True ∧ True) ⇒ ((y + (r1/r(n))) < (y1 - (r1/r(n))))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  y  :  \mBbbR{}
2.  y1  :  \mBbbR{}
3.  r  :  \mBbbR{}
4.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  r(b)  <  r(b  +  1)
6.  r(-(b  +  1))  <  r(-b)
7.  r(-b)  \mleq{}  r
8.  r  \mleq{}  r(b)
9.  m1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  y  \mleq{}  (r  -  (r1/r(m1)))
11.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  r  \mleq{}  (y1  -  (r1/r(m)))
\mvdash{}  \mexists{}n,M:\mBbbN{}\msupplus{}
      ((((y  +  (r1/r(n)))  \mleq{}  r)  \mwedge{}  (r  \mleq{}  (y1  -  (r1/r(n)))))
      \mwedge{}  (\mforall{}y@0:\{y@0:\mBbbR{}|  (y  <  y@0)  \mwedge{}  (y@0  <  y1)\} 
                ((((r  -  (r1/r(M)))  \mleq{}  y@0)  \mwedge{}  (y@0  \mleq{}  (r  +  (r1/r(M)))))
                {}\mRightarrow{}  (((y  +  (r1/r(n)))  \mleq{}  y@0)  \mwedge{}  (y@0  \mleq{}  (y1  -  (r1/r(n)))))))
      \mwedge{}  (((True  \mwedge{}  True)  {}\mRightarrow{}  (y  <  y1))  {}\mRightarrow{}  (True  \mwedge{}  True)  {}\mRightarrow{}  ((y  +  (r1/r(n)))  <  (y1  -  (r1/r(n))))))


By

---

Latex:
(Assert  \mexists{}M:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((y  \mleq{}  (r  -  (r1/r(M))))  \mwedge{}  (r  \mleq{}  (y1  -  (r1/r(M)))))  BY
              ((Assert  (m  \mleq{}  imax(m;m1))  \mwedge{}  (m1  \mleq{}  imax(m;m1))  BY
                              Auto)
                THEN  (Assert  ((r1/r(imax(m;m1)))  \mleq{}  (r1/r(m)))  \mwedge{}  ((r1/r(imax(m;m1)))  \mleq{}  (r1/r(m1)))  BY
                                        Auto)
                THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}imax(m;m1)\mkleeneclose{} 
                THEN  Auto
                THEN  (RWO  "10"  0  ORELSE  RWO  "12"  0)
                THEN  Auto))

---

Home Index