---

Step * 8 of Lemma i-member-implies


1. y : Top
2. y1 : ℝ
3. r : ℝ
4. b : ℕ+
5. r(b) < r(b + 1)
6. r(-(b + 1)) < r(-b)
7. r(-b) ≤ r
8. r ≤ r(b)
9. m : ℕ+
10. r ≤ (y1 - (r1/r(m)))
⊢ ∃n,M:ℕ+
   (((r(-n) ≤ r) ∧ (r ≤ (y1 - (r1/r(n)))))
   ∧ (∀y@0:{y@0:ℝ| y@0 < y1} 
        ((((r - (r1/r(M))) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ (r + (r1/r(M))))) ⇒ ((r(-n) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ (y1 - (r1/r(n)))))))
   ∧ (((False ∧ True) ⇒ (case ⊥ of inl(a) => a | inr(a) => a < y1)) ⇒ (True ∧ True) ⇒ (r(-n) < (y1 - (r1/r(n))))))
BY
{ (Assert ∃M:ℕ+. ((r ≤ (y1 - (r1/r(M)))) ∧ (r(-M) ≤ r)) BY
         ((Assert (m ≤ imax(m;b)) ∧ (b ≤ imax(m;b)) BY
                 Auto)
          THEN (Assert ((r1/r(imax(m;b))) ≤ (r1/r(m))) ∧ (r(-imax(m;b)) ≤ r(-b)) BY
                      Auto)
          THEN D 0 With ⌜imax(m;b)⌝ 
          THEN Auto
          THEN RWO "10" 0
          THEN Auto)) }

1
1. y : Top
2. y1 : ℝ
3. r : ℝ
4. b : ℕ+
5. r(b) < r(b + 1)
6. r(-(b + 1)) < r(-b)
7. r(-b) ≤ r
8. r ≤ r(b)
9. m : ℕ+
10. r ≤ (y1 - (r1/r(m)))
11. ∃M:ℕ+. ((r ≤ (y1 - (r1/r(M)))) ∧ (r(-M) ≤ r))
⊢ ∃n,M:ℕ+
   (((r(-n) ≤ r) ∧ (r ≤ (y1 - (r1/r(n)))))
   ∧ (∀y@0:{y@0:ℝ| y@0 < y1} 
        ((((r - (r1/r(M))) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ (r + (r1/r(M))))) ⇒ ((r(-n) ≤ y@0) ∧ (y@0 ≤ (y1 - (r1/r(n)))))))
   ∧ (((False ∧ True) ⇒ (case ⊥ of inl(a) => a | inr(a) => a < y1)) ⇒ (True ∧ True) ⇒ (r(-n) < (y1 - (r1/r(n))))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  y  :  Top
2.  y1  :  \mBbbR{}
3.  r  :  \mBbbR{}
4.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  r(b)  <  r(b  +  1)
6.  r(-(b  +  1))  <  r(-b)
7.  r(-b)  \mleq{}  r
8.  r  \mleq{}  r(b)
9.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  r  \mleq{}  (y1  -  (r1/r(m)))
\mvdash{}  \mexists{}n,M:\mBbbN{}\msupplus{}
      (((r(-n)  \mleq{}  r)  \mwedge{}  (r  \mleq{}  (y1  -  (r1/r(n)))))
      \mwedge{}  (\mforall{}y@0:\{y@0:\mBbbR{}|  y@0  <  y1\} 
                ((((r  -  (r1/r(M)))  \mleq{}  y@0)  \mwedge{}  (y@0  \mleq{}  (r  +  (r1/r(M)))))
                {}\mRightarrow{}  ((r(-n)  \mleq{}  y@0)  \mwedge{}  (y@0  \mleq{}  (y1  -  (r1/r(n)))))))
      \mwedge{}  (((False  \mwedge{}  True)  {}\mRightarrow{}  (case  \mbot{}  of  inl(a)  =>  a  |  inr(a)  =>  a  <  y1))
          {}\mRightarrow{}  (True  \mwedge{}  True)
          {}\mRightarrow{}  (r(-n)  <  (y1  -  (r1/r(n))))))


By

---

Latex:
(Assert  \mexists{}M:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((r  \mleq{}  (y1  -  (r1/r(M))))  \mwedge{}  (r(-M)  \mleq{}  r))  BY
              ((Assert  (m  \mleq{}  imax(m;b))  \mwedge{}  (b  \mleq{}  imax(m;b))  BY
                              Auto)
                THEN  (Assert  ((r1/r(imax(m;b)))  \mleq{}  (r1/r(m)))  \mwedge{}  (r(-imax(m;b))  \mleq{}  r(-b))  BY
                                        Auto)
                THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}imax(m;b)\mkleeneclose{} 
                THEN  Auto
                THEN  RWO  "10"  0
                THEN  Auto))

---

Home Index