---

Step * of Lemma intermediate-value-lemma'

∀a:ℝ. ∀b:{b:ℝ| a < b} . ∀f:[a, b] ⟶ℝ.
  ∀c:{c:ℝ| (f(a) ≤ c) ∧ (c ≤ f(b))} 
    ((∃d:{d:ℝ| (r0 ≤ d) ∧ (d < r1)} 
       ∀a1:{a1:ℝ| (a1 ∈ [a, b]) ∧ (f(a1) ≤ c)} . ∀b1:{b1:ℝ| (b1 ∈ [a, b]) ∧ (c ≤ f(b1)) ∧ (a1 < b1)} .
         ∃a2:{a2:ℝ| (a2 ∈ [a, b]) ∧ (f(a2) ≤ c)} . (∃b2:{b2:ℝ| (b2 ∈ [a, b]) ∧ (c ≤ f(b2))}  [((a1 ≤ a2) ∧ (a2 < b2) ∧ (\000Cb2 ≤ b1) ∧ ((b2 - a2) ≤ ((b1 - a1) * d)))]))
    ⇒ (∃x:ℝ [((x ∈ [a, b]) ∧ (f(x) = c))])) 
  supposing ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
BY
{ (RepeatFor 4 ((D 0 THENA Auto))
   THEN (Assert a ≤ b BY
               (DVar `b' THEN Unhide THEN Auto))
   THEN Auto
   THEN (InstLemma `closures-meet-sq\'-ext` [⌜sublevelset([a, b];f;c)⌝;⌜superlevelset([a, b];f;c)⌝]⋅
         THENA (Auto
                THEN RepUR ``sublevelset superlevelset`` 0
                THEN Try (((D 0 With ⌜a⌝  THEN Auto) THEN D 0 With ⌜b⌝  THEN Complete (Auto)))
                THEN RepeatFor 5 (ParallelLast)
                THEN Auto)
         )
   THEN ParallelLast
   THEN D -1
   THEN (Assert f(x) continuous for x ∈ [a, b] BY
               (BLemma `function-is-continuous` THEN Auto THEN All (Unfolds ``so_apply r-ap``) THEN Auto))) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
5. a ≤ b
6. c : {c:ℝ| (f(a) ≤ c) ∧ (c ≤ f(b))} 
7. ∃d:{d:ℝ| (r0 ≤ d) ∧ (d < r1)} 
    ∀a1:{a1:ℝ| (a1 ∈ [a, b]) ∧ (f(a1) ≤ c)} . ∀b1:{b1:ℝ| (b1 ∈ [a, b]) ∧ (c ≤ f(b1)) ∧ (a1 < b1)} .
      ∃a2:{a2:ℝ| (a2 ∈ [a, b]) ∧ (f(a2) ≤ c)} . (∃b2:{b2:ℝ| (b2 ∈ [a, b]) ∧ (c ≤ f(b2))}  [((a1 ≤ a2) ∧ (a2 < b2) ∧ (b2 \000C≤ b1) ∧ ((b2 - a2) ≤ ((b1 - a1) * d)))])
8. y : ℝ
9. y ∈ closure(λz.(↓sublevelset([a, b];f;c) z))
10. y ∈ closure(λz.(↓superlevelset([a, b];f;c) z))
11. f(x) continuous for x ∈ [a, b]
⊢ (y ∈ [a, b]) ∧ (f(y) = c)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}a:\mBbbR{}.  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  a  <  b\}  .  \mforall{}f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
    \mforall{}c:\{c:\mBbbR{}|  (f(a)  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  \mleq{}  f(b))\} 
        ((\mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  d)  \mwedge{}  (d  <  r1)\} 
              \mforall{}a1:\{a1:\mBbbR{}|  (a1  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (f(a1)  \mleq{}  c)\}  .  \mforall{}b1:\{b1:\mBbbR{}|  (b1  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (c  \mleq{}  f(b1))  \mwedge{}  (a1  <  b1)\}\000C  .
                  \mexists{}a2:\{a2:\mBbbR{}|  (a2  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (f(a2)  \mleq{}  c)\} 
                    (\mexists{}b2:\{b2:\mBbbR{}|  (b2  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (c  \mleq{}  f(b2))\}    [((a1  \mleq{}  a2)
                                                                                            \mwedge{}  (a2  <  b2)
                                                                                            \mwedge{}  (b2  \mleq{}  b1)
                                                                                            \mwedge{}  ((b2  -  a2)  \mleq{}  ((b1  -  a1)  *  d)))]))
        {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}  [((x  \mmember{}  [a,  b])  \mwedge{}  (f(x)  =  c))])) 
    supposing  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))


By

---

Latex:
(RepeatFor  4  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  (Assert  a  \mleq{}  b  BY
                          (DVar  `b'  THEN  Unhide  THEN  Auto))
  THEN  Auto
  THEN  (InstLemma  `closures-meet-sq\mbackslash{}'-ext`  [\mkleeneopen{}sublevelset([a,  b];f;c)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}superlevelset([a,  b];f;c)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  (Auto
                            THEN  RepUR  ``sublevelset  superlevelset``  0
                            THEN  Try  (((D  0  With  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}    THEN  Auto)  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}    THEN  Complete  (Auto)))
                            THEN  RepeatFor  5  (ParallelLast)
                            THEN  Auto)
              )
  THEN  ParallelLast
  THEN  D  -1
  THEN  (Assert  f(x)  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]  BY
                          (BLemma  `function-is-continuous`
                            THEN  Auto
                            THEN  All  (Unfolds  ``so\_apply  r-ap``)
                            THEN  Auto)))

---

Home Index