---

Step * of Lemma inverse-of-strict-increasing-function

∀I:Interval. ∀f:I ⟶ℝ. ∀J:Interval. ∀g:x:{x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} .
  ((∀t:{t:ℝ| t ∈ I} . (f t ∈ J))
  ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f x) < (f y))))
  ⇒ (∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y))))
  ⇒ (∀x:{x:ℝ| x ∈ J} . ((f (g x)) = x))
  ⇒ ((∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((g (f x)) = x))
     ∧ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x < y) ⇒ ((g x) < (g y))))
     ∧ (∀x,y:{t:ℝ| t ∈ J} .  ((x = y) ⇒ ((g x) = (g y))))))
BY
{ Auto }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. J : Interval
4. g : x:{x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
5. ∀t:{t:ℝ| t ∈ I} . (f t ∈ J)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f x) < (f y)))
7. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ J} . ((f (g x)) = x)
9. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
⊢ (g (f x)) = x

2
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. J : Interval
4. g : x:{x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
5. ∀t:{t:ℝ| t ∈ I} . (f t ∈ J)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f x) < (f y)))
7. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ J} . ((f (g x)) = x)
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((g (f x)) = x)
10. x : {x:ℝ| x ∈ J} 
11. y : {x:ℝ| x ∈ J} 
12. x < y
⊢ (g x) < (g y)

3
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. J : Interval
4. g : x:{x:ℝ| x ∈ J}  ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
5. ∀t:{t:ℝ| t ∈ I} . (f t ∈ J)
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x < y) ⇒ ((f x) < (f y)))
7. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ J} . ((f (g x)) = x)
9. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . ((g (f x)) = x)
10. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ J} .  ((x < y) ⇒ ((g x) < (g y)))
11. x : {t:ℝ| t ∈ J} 
12. y : {t:ℝ| t ∈ J} 
13. x = y
⊢ (g x) = (g y)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I:Interval.  \mforall{}f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}J:Interval.  \mforall{}g:x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}    {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .
    ((\mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .  (f  t  \mmember{}  J))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  <  (f  y))))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y))))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .  ((f  (g  x))  =  x))
    {}\mRightarrow{}  ((\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  ((g  (f  x))  =  x))
          \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  J\}  .    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((g  x)  <  (g  y))))
          \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  J\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((g  x)  =  (g  y))))))


By

---

Latex:
Auto

---

Home Index