---

Step * 1 1 2 1 1 1 of Lemma ireal-approx-rmul2


1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. j : ℕ+
4. M : ℕ+
5. a : ℤ
6. b : ℤ
7. k : ℕ+
8. |x| ≤ (r1/r(2))
9. |b| ≤ k
10. |x - (r(a)/r(2 * k))| ≤ (r(j)/r(k))
11. |y - (r(b)/r(2 * 2 * M))| ≤ (r(j)/r(2 * M))
12. |(x * y) - (r(a)/r(2 * k)) * (r(b)/r(2 * 2 * M))| ≤ ((|x| * (r(j)/r(2 * M)))
+ (|(r(b)/r(2 * 2 * M))| * (r(j)/r(k))))
13. |((r(a)/r(2 * k)) * (r(b)/r(2 * 2 * M))) - (r((a * b) ÷ 4 * k)/r(2 * M))| ≤ (r1/r(2 * M))
14. 1 ≤ j
15. (M * 1) ≤ (M * j)
16. (r1/r(2 * M)) ≤ (r(j)/r(2 * M))
⊢ (((|x| * (r(j)/r(2 * M))) + (|(r(b)/r(4 * M))| * (r(j)/r(k)))) + (r(j)/r(2 * M))) ≤ (r(j)/r(M))
BY
{ ((Assert r0 < r(4 * M) BY
          Auto)
   THEN (Assert |r(4 * M)| = r(4 * M) BY
               (RWO "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto))
   THEN (Assert |(r(b)/r(4 * M))| = (r(|b|)/r(4 * M)) BY
               ((RWW "rabs-rdiv" 0 THENA Auto) THEN BLemma `rdiv_functionality` THEN Auto))
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)) }

1
1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. j : ℕ+
4. M : ℕ+
5. a : ℤ
6. b : ℤ
7. k : ℕ+
8. |x| ≤ (r1/r(2))
9. |b| ≤ k
10. |x - (r(a)/r(2 * k))| ≤ (r(j)/r(k))
11. |y - (r(b)/r(2 * 2 * M))| ≤ (r(j)/r(2 * M))
12. |(x * y) - (r(a)/r(2 * k)) * (r(b)/r(2 * 2 * M))| ≤ ((|x| * (r(j)/r(2 * M)))
+ (|(r(b)/r(2 * 2 * M))| * (r(j)/r(k))))
13. |((r(a)/r(2 * k)) * (r(b)/r(2 * 2 * M))) - (r((a * b) ÷ 4 * k)/r(2 * M))| ≤ (r1/r(2 * M))
14. 1 ≤ j
15. (M * 1) ≤ (M * j)
16. (r1/r(2 * M)) ≤ (r(j)/r(2 * M))
17. r0 < r(4 * M)
18. |r(4 * M)| = r(4 * M)
19. |(r(b)/r(4 * M))| = (r(|b|)/r(4 * M))
⊢ (((|x| * (r(j)/r(2 * M))) + ((r(|b|)/r(4 * M)) * (r(j)/r(k)))) + (r(j)/r(2 * M))) ≤ (r(j)/r(M))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbR{}
3.  j  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  a  :  \mBbbZ{}
6.  b  :  \mBbbZ{}
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  |x|  \mleq{}  (r1/r(2))
9.  |b|  \mleq{}  k
10.  |x  -  (r(a)/r(2  *  k))|  \mleq{}  (r(j)/r(k))
11.  |y  -  (r(b)/r(2  *  2  *  M))|  \mleq{}  (r(j)/r(2  *  M))
12.  |(x  *  y)  -  (r(a)/r(2  *  k))  *  (r(b)/r(2  *  2  *  M))|  \mleq{}  ((|x|  *  (r(j)/r(2  *  M)))
+  (|(r(b)/r(2  *  2  *  M))|  *  (r(j)/r(k))))
13.  |((r(a)/r(2  *  k))  *  (r(b)/r(2  *  2  *  M)))  -  (r((a  *  b)  \mdiv{}  4  *  k)/r(2  *  M))|  \mleq{}  (r1/r(2  *  M))
14.  1  \mleq{}  j
15.  (M  *  1)  \mleq{}  (M  *  j)
16.  (r1/r(2  *  M))  \mleq{}  (r(j)/r(2  *  M))
\mvdash{}  (((|x|  *  (r(j)/r(2  *  M)))  +  (|(r(b)/r(4  *  M))|  *  (r(j)/r(k))))  +  (r(j)/r(2  *  M)))  \mleq{}  (r(j)/r(M))


By

---

Latex:
((Assert  r0  <  r(4  *  M)  BY
                Auto)
  THEN  (Assert  |r(4  *  M)|  =  r(4  *  M)  BY
                          (RWO  "rabs-of-nonneg"  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  |(r(b)/r(4  *  M))|  =  (r(|b|)/r(4  *  M))  BY
                          ((RWW  "rabs-rdiv"  0  THENA  Auto)  THEN  BLemma  `rdiv\_functionality`  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto))

---

Home Index