---

Step * of Lemma mcompact-finite-subcover

No Annotations
∀[X:Type]
  ∀d:metric(X)
    (mcompact(X;d)
    ⇒ (∀[I:Type]. ∀[A:I ⟶ X ⟶ ℙ].  (m-open-cover(X;d;I;i,x.A[i;x]) ⇒ (∃n:ℕ+. ∃L:ℕn ⟶ I. ∀x:X. ∃j:ℕn. A[L j;x]))))
BY
{ (Auto
   THEN (Assert ∃c:X ⟶ I. ∃B:ℕ. ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ (r1/r(B + 1))) ⇒ A[c x;y]) BY
               ((RWO "m-open-cover-iff" (-1) THENA Auto)
                THEN ExRepD
                THEN DupHyp 3
                THEN D -1
                THEN RenameVar `cmplt' (-2)
                THEN RenameVar `mtb' (-1)
                THEN (InstLemma `compact-metric-to-int-bounded` [⌜X⌝;⌜d⌝;⌜cmplt⌝;⌜mtb⌝;⌜b⌝]⋅ THENA Auto)
                THEN ExRepD))
   ) }

1
.....aux..... 
1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. mcompact(X;d)
4. [I] : Type
5. [A] : I ⟶ X ⟶ ℙ
6. ∀i:I. m-open(X;d;x.A[i;x])
7. b : X ⟶ ℕ+
8. c : X ⟶ I
9. ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ (r1/r(b x))) ⇒ A[c x;y])
10. cmplt : mcomplete(X with d)
11. mtb : m-TB(X;d)
12. B : ℕ
13. ∀x:X. ∃y:X. (x ≡ y ∧ (|b y| ≤ B))
⊢ ∃c:X ⟶ I. ∃B:ℕ. ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ (r1/r(B + 1))) ⇒ A[c x;y])

2
1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. mcompact(X;d)
4. [I] : Type
5. [A] : I ⟶ X ⟶ ℙ
6. m-open-cover(X;d;I;i,x.A[i;x])
7. ∃c:X ⟶ I. ∃B:ℕ. ∀x,y:X.  ((mdist(d;x;y) ≤ (r1/r(B + 1))) ⇒ A[c x;y])
⊢ ∃n:ℕ+. ∃L:ℕn ⟶ I. ∀x:X. ∃j:ℕn. A[L j;x]

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}[X:Type]
    \mforall{}d:metric(X)
        (mcompact(X;d)
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[I:Type].  \mforall{}[A:I  {}\mrightarrow{}  X  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
                    (m-open-cover(X;d;I;i,x.A[i;x])  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}L:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}x:X.  \mexists{}j:\mBbbN{}n.  A[L  j;x]))))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (Assert  \mexists{}c:X  {}\mrightarrow{}  I.  \mexists{}B:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:X.    ((mdist(d;x;y)  \mleq{}  (r1/r(B  +  1)))  {}\mRightarrow{}  A[c  x;y])  BY
                          ((RWO  "m-open-cover-iff"  (-1)  THENA  Auto)
                            THEN  ExRepD
                            THEN  DupHyp  3
                            THEN  D  -1
                            THEN  RenameVar  `cmplt'  (-2)
                            THEN  RenameVar  `mtb'  (-1)
                            THEN  (InstLemma  `compact-metric-to-int-bounded`  [\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}cmplt\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}mtb\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                        THENA  Auto
                                        )
                            THEN  ExRepD))
  )

---

Home Index