---

Step * 2 of Lemma mcomplete-stable-union


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. T : Type
4. P : T ⟶ X ⟶ ℙ
5. ∀i:T. ∀x,y:X.  (P[i;x] ⇒ y ≡ x ⇒ P[i;y])
6. finite(T)
7. ∀x:ℕ ⟶ X. (mcauchy(d;n.x n) ⇒ x n↓ as n→∞)
8. cmp : ∀i:T. mcompact({x:X| P[i;x]} ;d)
9. x : ℕ ⟶ stable-union(X;T;i,x.P[i;x])
10. mcauchy(d;n.x n)
11. y : X
12. lim n→∞.x n = y
13. ∃i:T. (¬(r0 < dist(y;{x:X| P[i;x]} )))
⊢ ¬¬(∃i:T. P[i;y])
BY
{ (D -1
   THEN (Assert ⌜¬¬P[i;y]⌝⋅ THENM (RepeatFor 2 (ParallelLast) THEN Auto))
   THEN (FLemma `not-rless` [-1] THENA Auto)
   THEN (Assert r0 ≤ dist(y;{x:X| P[i;x]} ) BY
               EAuto 1)
   THEN (Assert dist(y;{x:X| P[i;x]} ) = r0 BY
               EAuto 1)
   THEN (RWO "compact-dist-zero" (-1) THENA Auto)) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. T : Type
4. P : T ⟶ X ⟶ ℙ
5. ∀i:T. ∀x,y:X.  (P[i;x] ⇒ y ≡ x ⇒ P[i;y])
6. finite(T)
7. ∀x:ℕ ⟶ X. (mcauchy(d;n.x n) ⇒ x n↓ as n→∞)
8. cmp : ∀i:T. mcompact({x:X| P[i;x]} ;d)
9. x : ℕ ⟶ stable-union(X;T;i,x.P[i;x])
10. mcauchy(d;n.x n)
11. y : X
12. lim n→∞.x n = y
13. i : T
14. ¬(r0 < dist(y;{x:X| P[i;x]} ))
15. dist(y;{x:X| P[i;x]} ) ≤ r0
16. r0 ≤ dist(y;{x:X| P[i;x]} )
17. ∀n:ℕ+. ∃a:{x:X| P[i;x]} . (mdist(d;y;a) < (r1/r(n)))
⊢ ¬¬P[i;y]

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  T  :  Type
4.  P  :  T  {}\mrightarrow{}  X  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  \mforall{}i:T.  \mforall{}x,y:X.    (P[i;x]  {}\mRightarrow{}  y  \mequiv{}  x  {}\mRightarrow{}  P[i;y])
6.  finite(T)
7.  \mforall{}x:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  X.  (mcauchy(d;n.x  n)  {}\mRightarrow{}  x  n\mdownarrow{}  as  n\mrightarrow{}\minfty{})
8.  cmp  :  \mforall{}i:T.  mcompact(\{x:X|  P[i;x]\}  ;d)
9.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  stable-union(X;T;i,x.P[i;x])
10.  mcauchy(d;n.x  n)
11.  y  :  X
12.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x  n  =  y
13.  \mexists{}i:T.  (\mneg{}(r0  <  dist(y;\{x:X|  P[i;x]\}  )))
\mvdash{}  \mneg{}\mneg{}(\mexists{}i:T.  P[i;y])


By

---

Latex:
(D  -1
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}\mneg{}\mneg{}P[i;y]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENM  (RepeatFor  2  (ParallelLast)  THEN  Auto))
  THEN  (FLemma  `not-rless`  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  r0  \mleq{}  dist(y;\{x:X|  P[i;x]\}  )  BY
                          EAuto  1)
  THEN  (Assert  dist(y;\{x:X|  P[i;x]\}  )  =  r0  BY
                          EAuto  1)
  THEN  (RWO  "compact-dist-zero"  (-1)  THENA  Auto))

---

Home Index