---

Step * 1 1 of Lemma mean-value-for-bounded-derivative

.....assertion..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. c : ℝ
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (|f'[x]| ≤ c)
9. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
11. f'[x] continuous for x ∈ I
12. f[x] continuous for x ∈ I
13. e : {e:ℝ| r0 < e} 
⊢ (x < y) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ ((c * |x - y|) + e))
BY
{ (((D 0 THENA Auto)
    THEN (Assert [x, y] ⊆ I  BY
                EAuto 1)
    THEN (InstLemma `continuous_functionality_wrt_subinterval`  [⌜I⌝;⌜f'⌝;⌜[x, y]⌝]⋅ THENA Auto))
   THEN (InstLemma `mean-value-theorem` [⌜x⌝;⌜y⌝;⌜f⌝;⌜f'⌝;⌜e⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD) }

1
.....antecedent..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. c : ℝ
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (|f'[x]| ≤ c)
9. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
11. f'[x] continuous for x ∈ I
12. f[x] continuous for x ∈ I
13. e : {e:ℝ| r0 < e} 
14. x < y
15. [x, y] ⊆ I 
16. f'[x] continuous for x ∈ [x, y]
⊢ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [x, y]

2
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. c : ℝ
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (|f'[x]| ≤ c)
9. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
11. f'[x] continuous for x ∈ I
12. f[x] continuous for x ∈ I
13. e : {e:ℝ| r0 < e} 
14. x < y
15. [x, y] ⊆ I 
16. f'[x] continuous for x ∈ [x, y]
17. x@0 : ℝ
18. x@0 ∈ [x, y]
19. |f[y] - f[x] - f'[x@0] * (y - x)| ≤ e
⊢ |f[x] - f[y]| ≤ ((c * |x - y|) + e)

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
6.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
7.  c  :  \mBbbR{}
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (|f'[x]|  \mleq{}  c)
9.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
10.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
11.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
12.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
13.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
\mvdash{}  (x  <  y)  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  ((c  *  |x  -  y|)  +  e))


By

---

Latex:
(((D  0  THENA  Auto)
    THEN  (Assert  [x,  y]  \msubseteq{}  I    BY
                            EAuto  1)
    THEN  (InstLemma  `continuous\_functionality\_wrt\_subinterval`    [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}[x,  y]\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto))
  THEN  (InstLemma  `mean-value-theorem`  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD)

---

Home Index