---

Step * 1 2 2 2 of Lemma mean-value-for-bounded-derivative


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. c : ℝ
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (|f'[x]| ≤ c)
9. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
11. f'[x] continuous for x ∈ I
12. f[x] continuous for x ∈ I
13. e : {e:ℝ| r0 < e} 
14. (x < y) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ ((c * |x - y|) + e))
15. (y < x) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ ((c * |x - y|) + e))
16. (|f[x] - f[y]| ≤ e) ∨ (r0 < |x - y|)
⊢ |f[x] - f[y]| ≤ ((c * |x - y|) + e)
BY
{ D -1 }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. c : ℝ
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (|f'[x]| ≤ c)
9. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
11. f'[x] continuous for x ∈ I
12. f[x] continuous for x ∈ I
13. e : {e:ℝ| r0 < e} 
14. (x < y) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ ((c * |x - y|) + e))
15. (y < x) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ ((c * |x - y|) + e))
16. |f[x] - f[y]| ≤ e
⊢ |f[x] - f[y]| ≤ ((c * |x - y|) + e)

2
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
7. c : ℝ
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (|f'[x]| ≤ c)
9. x : {x:ℝ| x ∈ I} 
10. y : {x:ℝ| x ∈ I} 
11. f'[x] continuous for x ∈ I
12. f[x] continuous for x ∈ I
13. e : {e:ℝ| r0 < e} 
14. (x < y) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ ((c * |x - y|) + e))
15. (y < x) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ ((c * |x - y|) + e))
16. r0 < |x - y|
⊢ |f[x] - f[y]| ≤ ((c * |x - y|) + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
6.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
7.  c  :  \mBbbR{}
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (|f'[x]|  \mleq{}  c)
9.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
10.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
11.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
12.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
13.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
14.  (x  <  y)  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  ((c  *  |x  -  y|)  +  e))
15.  (y  <  x)  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  ((c  *  |x  -  y|)  +  e))
16.  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  e)  \mvee{}  (r0  <  |x  -  y|)
\mvdash{}  |f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  ((c  *  |x  -  y|)  +  e)


By

---

Latex:
D  -1

---

Home Index