---

Step * 1 5 of Lemma partition-refines-cons


1. I : Interval
2. icompact(I)
3. a : ℝ
4. bs : ℝ List
5. partitions(I;[a / bs])
6. partitions([left-endpoint(I), a];[])
7. partitions([a, right-endpoint(I)];bs)
8. left-endpoint(I) ≤ a
9. a ≤ right-endpoint(I)
10. partition-mesh([left-endpoint(I), a];[]) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
11. partition-mesh([a, right-endpoint(I)];bs) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
12. 0 < ||bs|| ⇒ (a < hd(bs))
13. p : partition(I)
14. p refines [a / bs]
15. i : ℕ||p||
16. a = p[i]
17. p ~ firstn(i;p) @ [p[i]] @ nth_tl(1 + i;p)
18. ||firstn(i;p)|| ≤ ||full-partition(I;p)||
19. icompact([a, right-endpoint(I)])
20. bs ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
21. icompact([left-endpoint(I), a])
22. [] ∈ partition([left-endpoint(I), a])
23. firstn(i;p) ∈ partition([left-endpoint(I), a])
24. nth_tl(i + 1;p) ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
25. firstn(i;p) refines []
26. nth_tl(i + 1;p) refines bs
27. ∃x:ℝ. ((x = a) ∧ (p = (firstn(i;p) @ [x / nth_tl(i + 1;p)]) ∈ (ℝ List)))
28. ||nth_tl(i + 1;p)|| + ||firstn(i;p)|| < ||p||
29. x : partition-choice(full-partition(I;p))
30. is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I), a];firstn(i;p));x)
⊢ is-partition-choice(full-partition([a, right-endpoint(I)];nth_tl(i + 1;p));λi@0.(x (i@0 + ||firstn(i;p)|| + 1)))
BY
{ (Assert is-partition-choice(full-partition(I;p);x) BY
         (BLemma `implies-is-partition-choice` THEN Auto)) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. a : ℝ
4. bs : ℝ List
5. partitions(I;[a / bs])
6. partitions([left-endpoint(I), a];[])
7. partitions([a, right-endpoint(I)];bs)
8. left-endpoint(I) ≤ a
9. a ≤ right-endpoint(I)
10. partition-mesh([left-endpoint(I), a];[]) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
11. partition-mesh([a, right-endpoint(I)];bs) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
12. 0 < ||bs|| ⇒ (a < hd(bs))
13. p : partition(I)
14. p refines [a / bs]
15. i : ℕ||p||
16. a = p[i]
17. p ~ firstn(i;p) @ [p[i]] @ nth_tl(1 + i;p)
18. ||firstn(i;p)|| ≤ ||full-partition(I;p)||
19. icompact([a, right-endpoint(I)])
20. bs ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
21. icompact([left-endpoint(I), a])
22. [] ∈ partition([left-endpoint(I), a])
23. firstn(i;p) ∈ partition([left-endpoint(I), a])
24. nth_tl(i + 1;p) ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
25. firstn(i;p) refines []
26. nth_tl(i + 1;p) refines bs
27. ∃x:ℝ. ((x = a) ∧ (p = (firstn(i;p) @ [x / nth_tl(i + 1;p)]) ∈ (ℝ List)))
28. ||nth_tl(i + 1;p)|| + ||firstn(i;p)|| < ||p||
29. x : partition-choice(full-partition(I;p))
30. is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I), a];firstn(i;p));x)
31. is-partition-choice(full-partition(I;p);x)
⊢ is-partition-choice(full-partition([a, right-endpoint(I)];nth_tl(i + 1;p));λi@0.(x (i@0 + ||firstn(i;p)|| + 1)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  a  :  \mBbbR{}
4.  bs  :  \mBbbR{}  List
5.  partitions(I;[a  /  bs])
6.  partitions([left-endpoint(I),  a];[])
7.  partitions([a,  right-endpoint(I)];bs)
8.  left-endpoint(I)  \mleq{}  a
9.  a  \mleq{}  right-endpoint(I)
10.  partition-mesh([left-endpoint(I),  a];[])  \mleq{}  partition-mesh(I;[a  /  bs])
11.  partition-mesh([a,  right-endpoint(I)];bs)  \mleq{}  partition-mesh(I;[a  /  bs])
12.  0  <  ||bs||  {}\mRightarrow{}  (a  <  hd(bs))
13.  p  :  partition(I)
14.  p  refines  [a  /  bs]
15.  i  :  \mBbbN{}||p||
16.  a  =  p[i]
17.  p  \msim{}  firstn(i;p)  @  [p[i]]  @  nth\_tl(1  +  i;p)
18.  ||firstn(i;p)||  \mleq{}  ||full-partition(I;p)||
19.  icompact([a,  right-endpoint(I)])
20.  bs  \mmember{}  partition([a,  right-endpoint(I)])
21.  icompact([left-endpoint(I),  a])
22.  []  \mmember{}  partition([left-endpoint(I),  a])
23.  firstn(i;p)  \mmember{}  partition([left-endpoint(I),  a])
24.  nth\_tl(i  +  1;p)  \mmember{}  partition([a,  right-endpoint(I)])
25.  firstn(i;p)  refines  []
26.  nth\_tl(i  +  1;p)  refines  bs
27.  \mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  =  a)  \mwedge{}  (p  =  (firstn(i;p)  @  [x  /  nth\_tl(i  +  1;p)])))
28.  ||nth\_tl(i  +  1;p)||  +  ||firstn(i;p)||  <  ||p||
29.  x  :  partition-choice(full-partition(I;p))
30.  is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I),  a];firstn(i;p));x)
\mvdash{}  is-partition-choice(full-partition([a,  right-endpoint(I)];nth\_tl(i  +  1;p));\mlambda{}i@0.(x 
                                                                                                                                                                      (i@0
                                                                                                                                                                      +  ||firstn(i;p)||
                                                                                                                                                                      +  1)))


By

---

Latex:
(Assert  is-partition-choice(full-partition(I;p);x)  BY
              (BLemma  `implies-is-partition-choice`  THEN  Auto))

---

Home Index