---

Step * 3 1 2 1 1 1 of Lemma partition-refines-cons

.....subterm..... T:t
1:n
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. a : ℝ
4. bs : ℝ List
5. partitions(I;[a / bs])
6. partitions([left-endpoint(I), a];[])
7. partitions([a, right-endpoint(I)];bs)
8. left-endpoint(I) ≤ a
9. a ≤ right-endpoint(I)
10. partition-mesh([left-endpoint(I), a];[]) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
11. partition-mesh([a, right-endpoint(I)];bs) ≤ partition-mesh(I;[a / bs])
12. 0 < ||bs|| ⇒ (a < hd(bs))
13. p : partition(I)
14. p refines [a / bs]
15. i : ℕ||p||
16. a = p[i]
17. p ~ firstn(i;p) @ [p[i]] @ nth_tl(1 + i;p)
18. ||firstn(i;p)|| ≤ ||full-partition(I;p)||
19. icompact([a, right-endpoint(I)])
20. bs ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
21. icompact([left-endpoint(I), a])
22. [] ∈ partition([left-endpoint(I), a])
23. firstn(i;p) ∈ partition([left-endpoint(I), a])
24. nth_tl(i + 1;p) ∈ partition([a, right-endpoint(I)])
25. q : partition([left-endpoint(I), a])
26. r : partition([a, right-endpoint(I)])
27. x : q refines []
28. x1 : r refines bs
29. x2 : ∃x:ℝ. ((x = a) ∧ (p = (q @ [x / r]) ∈ (ℝ List)))
30. x3 : ||r|| + ||q|| < ||p||
31. x4 : partition-choice(full-partition(I;p))
32. x5 : is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I), a];q);x4)
33. i1 : ℕ||full-partition([a, right-endpoint(I)];r)|| - 1
⊢ x4 ∈ i:ℕ||full-partition(I;p)|| - 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ [full-partition(I;p)[i], full-partition(I;p)[i + 1]]} 
BY
{ (Unfold `partition-choice` -3 THEN Trivial) }

---

Latex:

---

Latex:
.....subterm.....  T:t
1:n
1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  a  :  \mBbbR{}
4.  bs  :  \mBbbR{}  List
5.  partitions(I;[a  /  bs])
6.  partitions([left-endpoint(I),  a];[])
7.  partitions([a,  right-endpoint(I)];bs)
8.  left-endpoint(I)  \mleq{}  a
9.  a  \mleq{}  right-endpoint(I)
10.  partition-mesh([left-endpoint(I),  a];[])  \mleq{}  partition-mesh(I;[a  /  bs])
11.  partition-mesh([a,  right-endpoint(I)];bs)  \mleq{}  partition-mesh(I;[a  /  bs])
12.  0  <  ||bs||  {}\mRightarrow{}  (a  <  hd(bs))
13.  p  :  partition(I)
14.  p  refines  [a  /  bs]
15.  i  :  \mBbbN{}||p||
16.  a  =  p[i]
17.  p  \msim{}  firstn(i;p)  @  [p[i]]  @  nth\_tl(1  +  i;p)
18.  ||firstn(i;p)||  \mleq{}  ||full-partition(I;p)||
19.  icompact([a,  right-endpoint(I)])
20.  bs  \mmember{}  partition([a,  right-endpoint(I)])
21.  icompact([left-endpoint(I),  a])
22.  []  \mmember{}  partition([left-endpoint(I),  a])
23.  firstn(i;p)  \mmember{}  partition([left-endpoint(I),  a])
24.  nth\_tl(i  +  1;p)  \mmember{}  partition([a,  right-endpoint(I)])
25.  q  :  partition([left-endpoint(I),  a])
26.  r  :  partition([a,  right-endpoint(I)])
27.  x  :  q  refines  []
28.  x1  :  r  refines  bs
29.  x2  :  \mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  =  a)  \mwedge{}  (p  =  (q  @  [x  /  r])))
30.  x3  :  ||r||  +  ||q||  <  ||p||
31.  x4  :  partition-choice(full-partition(I;p))
32.  x5  :  is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(I),  a];q);x4)
33.  i1  :  \mBbbN{}||full-partition([a,  right-endpoint(I)];r)||  -  1
\mvdash{}  x4  \mmember{}  i:\mBbbN{}||full-partition(I;p)||  -  1  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}| 
                                                                                    x  \mmember{}  [full-partition(I;p)[i],  full-partition(I;p)[i  +  1]]\} 


By

---

Latex:
(Unfold  `partition-choice`  -3  THEN  Trivial)

---

Home Index