---

Step * of Lemma range_inf_functionality

No Annotations
∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f:{x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ ℝ.
  ∀g:{x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ ℝ. inf{f[x] | x ∈ I} = inf{g[x] | x ∈ I} supposing ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f[x] = g[x]) 
  supposing ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
BY
{ (Intros
   THEN (Assert ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y])) BY
               (Auto THEN (Assert (f[x] = f[y]) ∧ (f[x] = g[x]) ∧ (f[y] = g[y]) BY Auto) THEN Auto))
   THEN BLemma `rleq_antisymmetry`
   THEN Auto
   THEN BLemma `range_inf-bound`
   THEN Auto) }

1
1. I : {I:Interval| icompact(I)} 
2. f : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. g : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f[x] = g[x])
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
7. x : ℝ
8. x ∈ I
⊢ inf{f[x] | x ∈ I} ≤ g[x]

2
1. I : {I:Interval| icompact(I)} 
2. f : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. g : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (f[x] = g[x])
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
7. x : ℝ
8. x ∈ I
⊢ inf{g[x] | x ∈ I} ≤ f[x]

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}I:\{I:Interval|  icompact(I)\}  .  \mforall{}f:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
    \mforall{}g:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
        inf\{f[x]  |  x  \mmember{}  I\}  =  inf\{g[x]  |  x  \mmember{}  I\}  supposing  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (f[x]  =  g[x]) 
    supposing  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))


By

---

Latex:
(Intros
  THEN  (Assert  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y]))  BY
                          (Auto  THEN  (Assert  (f[x]  =  f[y])  \mwedge{}  (f[x]  =  g[x])  \mwedge{}  (f[y]  =  g[y])  BY  Auto)  THEN  Auto))
  THEN  BLemma  `rleq\_antisymmetry`
  THEN  Auto
  THEN  BLemma  `range\_inf-bound`
  THEN  Auto)

---

Home Index