---

Step * 1 1 of Lemma range_sup-bound


1. I : {I:Interval| icompact(I)} 
2. f : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. s : ℝ
5. sup{f[x] | x ∈ I} = s ∈ ℝ
6. sup(f[x](x∈I)) = s
7. c : ℝ
8. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (f[x] ≤ c))
9. e : {e:ℝ| r0 < e} 
⊢ s ≤ (c + e)
BY
{ (D -4 THEN (InstHyp [⌜e⌝] (-4)⋅ THENA Auto) THEN ExRepD) }

1
1. I : {I:Interval| icompact(I)} 
2. f : {x:ℝ| x ∈ I}  ⟶ ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
4. s : ℝ
5. sup{f[x] | x ∈ I} = s ∈ ℝ
6. f[x](x∈I) ≤ s
7. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ f[x](x∈I)) ∧ ((s - e) < x))))
8. c : ℝ
9. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (f[x] ≤ c))
10. e : {e:ℝ| r0 < e} 
11. x : ℝ
12. x ∈ f[x](x∈I)
13. (s - e) < x
⊢ s ≤ (c + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  \{I:Interval|  icompact(I)\} 
2.  f  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
4.  s  :  \mBbbR{}
5.  sup\{f[x]  |  x  \mmember{}  I\}  =  s
6.  sup(f[x](x\mmember{}I))  =  s
7.  c  :  \mBbbR{}
8.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  \mleq{}  c))
9.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
\mvdash{}  s  \mleq{}  (c  +  e)


By

---

Latex:
(D  -4  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]  (-4)\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  ExRepD)

---

Home Index