---

Step * 1 of Lemma ratio-test


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
4. ∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))
⊢ Σn.x[n]↓
BY
{ (Assert ∀n:ℕ. (|x[N + n]| ≤ (c^n * |x[N]|)) BY
         InductionOnNat) }

1
.....aux..... 
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
4. ∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))
5. n : ℤ
⊢ |x[N + 0]| ≤ (c^0 * |x[N]|)

2
.....aux..... 
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
4. ∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))
5. n : ℤ
6. 0 < n
7. |x[N + (n - 1)]| ≤ (c^n - 1 * |x[N]|)
⊢ |x[N + n]| ≤ (c^n * |x[N]|)

3
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
4. ∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))
5. ∀n:ℕ. (|x[N + n]| ≤ (c^n * |x[N]|))
⊢ Σn.x[n]↓

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  N  :  \mBbbN{}
3.  c  :  \{c:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  <  r1)\} 
4.  \mforall{}n:\{N...\}.  (|x[n  +  1]|  \mleq{}  (c  *  |x[n]|))
\mvdash{}  \mSigma{}n.x[n]\mdownarrow{}


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (|x[N  +  n]|  \mleq{}  (c\^{}n  *  |x[N]|))  BY
              InductionOnNat)

---

Home Index