---

Step * 2 1 of Lemma real-cont-iff-continuous


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. ∀m:{m:ℕ+| icompact([a, b])} . ∀n:ℕ+.
     (∃d:ℝ [((r0 < d)
           ∧ (∀x,y:ℝ.  (((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ⇒ ((a ≤ y) ∧ (y ≤ b)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n))))))])
6. k : ℕ+
7. ∃d:ℝ [((r0 < d)
        ∧ (∀x,y:ℝ.  (((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)) ⇒ ((a ≤ y) ∧ (y ≤ b)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))))))]
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} . ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((|x - y| ≤ d) ⇒ (|(f x) - f y| ≤ (r1/r(k))))
BY
{ (D -1 THEN D 0 With ⌜d⌝  THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}m:\{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact([a,  b])\}  .  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.
          (\mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
                      \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                                (((a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b))
                                {}\mRightarrow{}  ((a  \mleq{}  y)  \mwedge{}  (y  \mleq{}  b))
                                {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                                {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n))))))])
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  \mexists{}d:\mBbbR{}  [((r0  <  d)
                \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                          (((a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b))
                          {}\mRightarrow{}  ((a  \mleq{}  y)  \mwedge{}  (y  \mleq{}  b))
                          {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)
                          {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(k))))))]
\mvdash{}  \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\}  .  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|(f  x)  -  f  y|  \mleq{}  (r1/r(k))))


By

---

Latex:
(D  -1  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}d\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index