---

Step * 1 of Lemma real-path-comp-exists


1. f : [r0, r1] ⟶ℝ
2. g : [r0, r1] ⟶ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. f(r1) = g(r0)
6. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (rmin(t;(r1/r(2))) = t)
7. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (r(2) * t ∈ [r0, r1])
8. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) = f(r(2) * t))
⊢ ∃h:[r0, r1] ⟶ℝ
   ((∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (h(t) = f(r(2) * t)))
   ∧ (∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . (h(t) = g((r(2) * t) - r1)))
   ∧ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (h(x) = h(y)))))
BY
{ ((Assert ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . (rmax(t;(r1/r(2))) = t) BY
          (Auto THEN BLemma `rmax-req2` THEN Auto))
   THEN (Assert ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . ((r(2) * t) - r1 ∈ [r0, r1]) BY
               (Auto
                THEN All Reduce
                THEN Auto
                THEN (Assert t ≤ r1 BY
                            Auto)
                THEN nRMul ⌜r(2)⌝ (-1)⋅
                THEN (Assert (r1/r(2)) ≤ t BY
                            Auto)
                THEN nRMul ⌜r(2)⌝ (-1)⋅
                THEN Auto))
   THEN (Assert ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . (g((r(2) * rmax(t;(r1/r(2)))) - r1) = g((r(2) * t) - r1)) BY
               (Auto THEN BackThruSomeHyp THEN Auto THEN Try ((MemTypeCD THEN Auto)) THEN RWO  "9" 0 THEN Auto))) }

1
1. f : [r0, r1] ⟶ℝ
2. g : [r0, r1] ⟶ℝ
3. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. f(r1) = g(r0)
6. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (rmin(t;(r1/r(2))) = t)
7. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (r(2) * t ∈ [r0, r1])
8. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (f(r(2) * rmin(t;(r1/r(2)))) = f(r(2) * t))
9. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . (rmax(t;(r1/r(2))) = t)
10. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . ((r(2) * t) - r1 ∈ [r0, r1])
11. ∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . (g((r(2) * rmax(t;(r1/r(2)))) - r1) = g((r(2) * t) - r1))
⊢ ∃h:[r0, r1] ⟶ℝ
   ((∀t:{x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} . (h(t) = f(r(2) * t)))
   ∧ (∀t:{x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} . (h(t) = g((r(2) * t) - r1)))
   ∧ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  ((x = y) ⇒ (h(x) = h(y)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  [r0,  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
2.  g  :  [r0,  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y)))
4.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g(x)  =  g(y)))
5.  f(r1)  =  g(r0)
6.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\}  .  (rmin(t;(r1/r(2)))  =  t)
7.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\}  .  (r(2)  *  t  \mmember{}  [r0,  r1])
8.  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\}  .  (f(r(2)  *  rmin(t;(r1/r(2))))  =  f(r(2)  *  t))
\mvdash{}  \mexists{}h:[r0,  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
      ((\mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  (r1/r(2))]\}  .  (h(t)  =  f(r(2)  *  t)))
      \mwedge{}  (\mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\}  .  (h(t)  =  g((r(2)  *  t)  -  r1)))
      \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (h(x)  =  h(y)))))


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\}  .  (rmax(t;(r1/r(2)))  =  t)  BY
                (Auto  THEN  BLemma  `rmax-req2`  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\}  .  ((r(2)  *  t)  -  r1  \mmember{}  [r0,  r1])  BY
                          (Auto
                            THEN  All  Reduce
                            THEN  Auto
                            THEN  (Assert  t  \mleq{}  r1  BY
                                                    Auto)
                            THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(2)\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}
                            THEN  (Assert  (r1/r(2))  \mleq{}  t  BY
                                                    Auto)
                            THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(2)\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}
                            THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mforall{}t:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [(r1/r(2)),  r1]\} 
                                (g((r(2)  *  rmax(t;(r1/r(2))))  -  r1)  =  g((r(2)  *  t)  -  r1))  BY
                          (Auto
                            THEN  BackThruSomeHyp
                            THEN  Auto
                            THEN  Try  ((MemTypeCD  THEN  Auto))
                            THEN  RWO    "9"  0
                            THEN  Auto)))

---

Home Index