---

Step * 1 1 1 2 1 of Lemma real-subset-connected-lemma

.....assertion..... 
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
11. ∀u,v:{x:ℝ| X x} .
      ((u < v)
      ⇒ (∃p:{x:ℝ| X x} 
           (((u < p) ∧ (p < v)) ∧ ((p - u) ≤ ((r(2)/r(3)) * (v - u))) ∧ ((v - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (v - u))))))
⊢ ∀pq:{pq:{x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} | ((fst(pq)) < (snd(pq))) ∧ (↑(a (fst(pq)))) ∧ (↑(b (snd(pq))))} 
    ∃pq':{pq:{x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} | ((fst(pq)) < (snd(pq))) ∧ (↑(a (fst(pq)))) ∧ (↑(b (snd(pq))))} 
     ((((snd(pq')) - fst(pq')) ≤ ((r(2)/r(3)) * ((snd(pq)) - fst(pq))))
     ∧ (∃xx:{x:ℝ| X x} 
         ((pq' = <fst(pq), xx> ∈ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )) ∨ (pq' = <xx, snd(pq)> ∈ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )))))
BY
{ ((D 0 THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN D -2
   THEN All Reduce
   THEN (InstHyp [⌜p1⌝;⌜p2⌝] (-4)⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN (Assert (↑(a p)) ∨ (↑(b p)) BY
               Auto)
   THEN (D -1 THENL [D 0 With ⌜<p, p2>⌝ ; D 0 With ⌜<p1, p>⌝ ])
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
3.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x)))
6.  a0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
7.  b0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
8.  \muparrow{}(a  a0)
9.  \muparrow{}(b  b0)
10.  a0  <  b0
11.  \mforall{}u,v:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .
            ((u  <  v)
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}p:\{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                      (((u  <  p)  \mwedge{}  (p  <  v))
                      \mwedge{}  ((p  -  u)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (v  -  u)))
                      \mwedge{}  ((v  -  p)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (v  -  u))))))
\mvdash{}  \mforall{}pq:\{pq:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    \mtimes{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}  |  ((fst(pq))  <  (snd(pq)))  \mwedge{}  (\muparrow{}(a  (fst(pq))))  \mwedge{}  (\muparrow{}(b  (snd(pq))))\} 
        \mexists{}pq':\{pq:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    \mtimes{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}  |  ((fst(pq))  <  (snd(pq)))  \mwedge{}  (\muparrow{}(a  (fst(pq))))  \mwedge{}  (\muparrow{}(b  (snd(pq)))\000C)\} 
          ((((snd(pq'))  -  fst(pq'))  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  ((snd(pq))  -  fst(pq))))
          \mwedge{}  (\mexists{}xx:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((pq'  =  <fst(pq),  xx>)  \mvee{}  (pq'  =  <xx,  snd(pq)>))))


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  D  -2
  THEN  All  Reduce
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}p1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p2\mkleeneclose{}]  (-4)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (Assert  (\muparrow{}(a  p))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  p))  BY
                          Auto)
  THEN  (D  -1  THENL  [D  0  With  \mkleeneopen{}<p,  p2>\mkleeneclose{}  ;  D  0  With  \mkleeneopen{}<p1,  p>\mkleeneclose{}  ])
  THEN  Auto)

---

Home Index