---

Step * 1 1 1 2 2 of Lemma real-subset-connected-lemma


1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
11. ∀u,v:{x:ℝ| X x} .
      ((u < v)
      ⇒ (∃p:{x:ℝ| X x} 
           (((u < p) ∧ (p < v)) ∧ ((p - u) ≤ ((r(2)/r(3)) * (v - u))) ∧ ((v - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (v - u))))))
12. ∀pq:{pq:{x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} | ((fst(pq)) < (snd(pq))) ∧ (↑(a (fst(pq)))) ∧ (↑(b (snd(pq))))} 
      ∃pq':{pq:{x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} | ((fst(pq)) < (snd(pq))) ∧ (↑(a (fst(pq)))) ∧ (↑(b (snd(pq))))} 
       ((((snd(pq')) - fst(pq')) ≤ ((r(2)/r(3)) * ((snd(pq)) - fst(pq))))
       ∧ (∃xx:{x:ℝ| X x} 
           ((pq' = <fst(pq), xx> ∈ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )) ∨ (pq' = <xx, snd(pq)> ∈ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )))))
⊢ ∃h:ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
   (((fst(h[0])) < (snd(h[0])))
   ∧ (∀n:ℕ
        ((↑(a (fst(h[n]))))
        ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
        ∧ let a,b = h[n] 
          in ∃p:{x:ℝ| X x} 
              (((a < p) ∧ (p < b))
              ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
                ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a)))))))))
BY
{ (Skolemize (-1) `h'  THENA Auto) }

1
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
11. ∀u,v:{x:ℝ| X x} .
      ((u < v)
      ⇒ (∃p:{x:ℝ| X x} 
           (((u < p) ∧ (p < v)) ∧ ((p - u) ≤ ((r(2)/r(3)) * (v - u))) ∧ ((v - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (v - u))))))
12. ∀pq:{pq:{x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} | ((fst(pq)) < (snd(pq))) ∧ (↑(a (fst(pq)))) ∧ (↑(b (snd(pq))))} 
      ∃pq':{pq:{x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} | ((fst(pq)) < (snd(pq))) ∧ (↑(a (fst(pq)))) ∧ (↑(b (snd(pq))))} 
       ((((snd(pq')) - fst(pq')) ≤ ((r(2)/r(3)) * ((snd(pq)) - fst(pq))))
       ∧ (∃xx:{x:ℝ| X x} 
           ((pq' = <fst(pq), xx> ∈ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )) ∨ (pq' = <xx, snd(pq)> ∈ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )))))
13. h : pq:{pq:{x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} | ((fst(pq)) < (snd(pq))) ∧ (↑(a (fst(pq)))) ∧ (↑(b (snd(pq))))}  ⟶ {pq:{x:ℝ| X\000C x}  × {x:ℝ| X x} | 
                                                                                             ((fst(pq)) < (snd(pq)))
                                                                                             ∧ (↑(a (fst(pq))))
                                                                                             ∧ (↑(b (snd(pq))))} 
14. ∀pq:{pq:{x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} | ((fst(pq)) < (snd(pq))) ∧ (↑(a (fst(pq)))) ∧ (↑(b (snd(pq))))} 
      ((((snd((h pq))) - fst((h pq))) ≤ ((r(2)/r(3)) * ((snd(pq)) - fst(pq))))
      ∧ (∃xx:{x:ℝ| X x} 
          (((h pq) = <fst(pq), xx> ∈ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )) ∨ ((h pq) = <xx, snd(pq)> ∈ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} \000C)))))
⊢ ∃h:ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
   (((fst(h[0])) < (snd(h[0])))
   ∧ (∀n:ℕ
        ((↑(a (fst(h[n]))))
        ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
        ∧ let a,b = h[n] 
          in ∃p:{x:ℝ| X x} 
              (((a < p) ∧ (p < b))
              ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
                ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a)))))))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
3.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x)))
6.  a0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
7.  b0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
8.  \muparrow{}(a  a0)
9.  \muparrow{}(b  b0)
10.  a0  <  b0
11.  \mforall{}u,v:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .
            ((u  <  v)
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}p:\{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                      (((u  <  p)  \mwedge{}  (p  <  v))
                      \mwedge{}  ((p  -  u)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (v  -  u)))
                      \mwedge{}  ((v  -  p)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (v  -  u))))))
12.  \mforall{}pq:\{pq:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    \mtimes{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}  |  ((fst(pq))  <  (snd(pq)))  \mwedge{}  (\muparrow{}(a  (fst(pq))))  \mwedge{}  (\muparrow{}(b  (snd(pq))))\000C\} 
            \mexists{}pq':\{pq:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    \mtimes{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}  |  ((fst(pq))  <  (snd(pq)))  \mwedge{}  (\muparrow{}(a  (fst(pq))))  \mwedge{}  (\muparrow{}(b  (snd(pq)\000C)))\} 
              ((((snd(pq'))  -  fst(pq'))  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  ((snd(pq))  -  fst(pq))))
              \mwedge{}  (\mexists{}xx:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((pq'  =  <fst(pq),  xx>)  \mvee{}  (pq'  =  <xx,  snd(pq)>))))
\mvdash{}  \mexists{}h:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    \mtimes{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}  )
      (((fst(h[0]))  <  (snd(h[0])))
      \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}
                ((\muparrow{}(a  (fst(h[n]))))
                \mwedge{}  (\muparrow{}(b  (snd(h[n]))))
                \mwedge{}  let  a,b  =  h[n] 
                    in  \mexists{}p:\{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                            (((a  <  p)  \mwedge{}  (p  <  b))
                            \mwedge{}  (((h[n  +  1]  =  <a,  p>)  \mwedge{}  ((p  -  a)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (b  -  a))))
                                \mvee{}  ((h[n  +  1]  =  <p,  b>)  \mwedge{}  ((b  -  p)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (b  -  a)))))))))


By

---

Latex:
(Skolemize  (-1)  `h'    THENA  Auto)

---

Home Index