---

Step * 2 1 of Lemma real-subset-connected-lemma

.....assertion..... 
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. ∀a,b:{x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹.
     ((∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x))))
     ⇒ (∀a0,b0:{x:ℝ| X x} .
           ((↑(a a0))
           ⇒ (↑(b b0))
           ⇒ (a0 < b0)
           ⇒ (∃f,g:ℕ ⟶ {x:ℝ| X x} 
                ∃x:ℝ. ((∀n:ℕ. (↑(a (f n)))) ∧ (∀n:ℕ. (↑(b (g n)))) ∧ lim n→∞.f n = x ∧ lim n→∞.g n = x)))))
4. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
6. ∃x:{x:ℝ| X x} . (↑(a x))
7. ∃x:{x:ℝ| X x} . (↑(b x))
8. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
⊢ ∃a0,b0:{x:ℝ| X x} . ((↑(a a0)) ∧ (↑(b b0)) ∧ a0 ≠ b0)
BY
{ (Thin 3
   THEN (Unfold `dense-in-interval` 2 THEN (InstHyp [⌜r0⌝;⌜r1⌝] 2⋅ THENA Auto))
   THEN (InstHyp [⌜r1⌝;⌜r(2)⌝] 2⋅ THENA Auto)) }

1
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. ∀a,b:{r:ℝ| r ∈ (-∞, ∞)} .  ((a < b) ⇒ (∃x:ℝ. (((a < x) ∧ (x < b)) ∧ (X x))))
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∃x:{x:ℝ| X x} . (↑(a x))
6. ∃x:{x:ℝ| X x} . (↑(b x))
7. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
8. ∃x:ℝ. (((r0 < x) ∧ (x < r1)) ∧ (X x))
9. ∃x:ℝ. (((r1 < x) ∧ (x < r(2))) ∧ (X x))
⊢ ∃a0,b0:{x:ℝ| X x} . ((↑(a a0)) ∧ (↑(b b0)) ∧ a0 ≠ b0)

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
3.  \mforall{}a,b:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
          ((\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x))))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a0,b0:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .
                      ((\muparrow{}(a  a0))
                      {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(b  b0))
                      {}\mRightarrow{}  (a0  <  b0)
                      {}\mRightarrow{}  (\mexists{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                                \mexists{}x:\mBbbR{}
                                  ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(a  (f  n))))
                                  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (\muparrow{}(b  (g  n))))
                                  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f  n  =  x
                                  \mwedge{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.g  n  =  x)))))
4.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
6.  \mexists{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  (\muparrow{}(a  x))
7.  \mexists{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  (\muparrow{}(b  x))
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x)))
\mvdash{}  \mexists{}a0,b0:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  a0))  \mwedge{}  (\muparrow{}(b  b0))  \mwedge{}  a0  \mneq{}  b0)


By

---

Latex:
(Thin  3
  THEN  (Unfold  `dense-in-interval`  2  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r1\mkleeneclose{}]  2\mcdot{}  THENA  Auto))
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}r1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r(2)\mkleeneclose{}]  2\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index