---

Step * 1 2 of Lemma regularize-k-regular


1. k : ℕ+
2. f : ℕ+ ⟶ ℤ
3. n : ℕ+
4. m : ℕ+
5. ↑regular-upto(k;n;f)
6. ↑regular-upto(k;m;f)
7. ↑regular-upto(k;imax(n;m);f)
⊢ ∃z:ℝ
   ((((r((f n) - 2 * k)/r((2 * k) * n)) ≤ z) ∧ (z ≤ (r((f n) + (2 * k))/r((2 * k) * n))))
   ∧ ((r((f m) - 2 * k)/r((2 * k) * m)) ≤ z)
   ∧ (z ≤ (r((f m) + (2 * k))/r((2 * k) * m))))
BY
{ ((Assert (n ≤ imax(n;m)) ∧ (m ≤ imax(n;m)) BY
          Auto)
   THEN (RWO "regular-upto-iff" (-2) THENA Auto)
   THEN (D -2 With ⌜n⌝  THENA Auto)
   THEN (D -1 With ⌜m⌝  THENA Auto)) }

1
1. k : ℕ+
2. f : ℕ+ ⟶ ℤ
3. n : ℕ+
4. m : ℕ+
5. ↑regular-upto(k;n;f)
6. ↑regular-upto(k;m;f)
7. (n ≤ imax(n;m)) ∧ (m ≤ imax(n;m))
8. let j = seq-min-upper(k;imax(n;m);f) in
    let z = (r((f j) + (2 * k))/r((2 * k) * j)) in
    (((r((f n) - 2 * k)/r((2 * k) * n)) ≤ z) ∧ (z ≤ (r((f n) + (2 * k))/r((2 * k) * n))))
    ∧ ((r((f m) - 2 * k)/r((2 * k) * m)) ≤ z)
    ∧ (z ≤ (r((f m) + (2 * k))/r((2 * k) * m)))
⊢ ∃z:ℝ
   ((((r((f n) - 2 * k)/r((2 * k) * n)) ≤ z) ∧ (z ≤ (r((f n) + (2 * k))/r((2 * k) * n))))
   ∧ ((r((f m) - 2 * k)/r((2 * k) * m)) ≤ z)
   ∧ (z ≤ (r((f m) + (2 * k))/r((2 * k) * m))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  f  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  \muparrow{}regular-upto(k;n;f)
6.  \muparrow{}regular-upto(k;m;f)
7.  \muparrow{}regular-upto(k;imax(n;m);f)
\mvdash{}  \mexists{}z:\mBbbR{}
      ((((r((f  n)  -  2  *  k)/r((2  *  k)  *  n))  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  \mleq{}  (r((f  n)  +  (2  *  k))/r((2  *  k)  *  n))))
      \mwedge{}  ((r((f  m)  -  2  *  k)/r((2  *  k)  *  m))  \mleq{}  z)
      \mwedge{}  (z  \mleq{}  (r((f  m)  +  (2  *  k))/r((2  *  k)  *  m))))


By

---

Latex:
((Assert  (n  \mleq{}  imax(n;m))  \mwedge{}  (m  \mleq{}  imax(n;m))  BY
                Auto)
  THEN  (RWO  "regular-upto-iff"  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  (D  -2  With  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}    THENA  Auto))

---

Home Index