---

Step * of Lemma rpolynomial-complete-factors

∀n:ℕ+. ∀a:ℕn + 1 ⟶ ℝ. ∀z:ℕn ⟶ ℝ.
  ((∀i,j:ℕn.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ z i ≠ z j))
  ⇒ ∀[x:ℝ]. ((Σi≤n. a_i * x^i) = ((a n) * rprod(0;n - 1;j.x - z j))) supposing ∀j:ℕn. ((Σi≤n. a_i * z j^i) = r0))
BY
{ (InductionOnNat THEN Auto) }

1
1. n : ℕ+
2. a : ℕ1 + 1 ⟶ ℝ
3. z : ℕ1 ⟶ ℝ
4. ∀i,j:ℕ1.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ z i ≠ z j)
5. ∀j:ℕ1. ((Σi≤1. a_i * z j^i) = r0)
6. x : ℝ
⊢ (Σi≤1. a_i * x^i) = ((a 1) * rprod(0;1 - 1;j.x - z j))

2
1. n : ℤ
2. 0 < n
3. ∀a:ℕn + 1 ⟶ ℝ. ∀z:ℕn ⟶ ℝ.
     ((∀i,j:ℕn.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ z i ≠ z j))
     ⇒ ∀[x:ℝ]. ((Σi≤n. a_i * x^i) = ((a n) * rprod(0;n - 1;j.x - z j))) supposing ∀j:ℕn. ((Σi≤n. a_i * z j^i) = r0))
4. a : ℕ(n + 1) + 1 ⟶ ℝ
5. z : ℕn + 1 ⟶ ℝ
6. ∀i,j:ℕn + 1.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ z i ≠ z j)
7. ∀j:ℕn + 1. ((Σi≤n + 1. a_i * z j^i) = r0)
8. x : ℝ
⊢ (Σi≤n + 1. a_i * x^i) = ((a (n + 1)) * rprod(0;(n + 1) - 1;j.x - z j))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}a:\mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.  \mforall{}z:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
    ((\mforall{}i,j:\mBbbN{}n.    ((\mneg{}(i  =  j))  {}\mRightarrow{}  z  i  \mneq{}  z  j))
    {}\mRightarrow{}  \mforall{}[x:\mBbbR{}].  ((\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  x\^{}i)  =  ((a  n)  *  rprod(0;n  -  1;j.x  -  z  j))) 
          supposing  \mforall{}j:\mBbbN{}n.  ((\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  z  j\^{}i)  =  r0))


By

---

Latex:
(InductionOnNat  THEN  Auto)

---

Home Index