---

Step * of Lemma rv-circle-circle-lemma2

∀n:{2...}. ∀r1,r2:{r:ℝ| r0 ≤ r} . ∀b:ℝ^n.
  ((r0 < ||b||)
  ⇒ ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2))
  ⇒ (∃u,v:ℝ^n
       (((||u|| = r1) ∧ (||u - b|| = r2))
       ∧ ((||v|| = r1) ∧ (||v - b|| = r2))
       ∧ (((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)) ⇒ u ≠ v))))
BY
{ (InstLemma `rv-circle-circle-lemma` [] THEN (RepeatFor 5 ((ParallelLast' THENA Auto)) THENA Auto)) }

1
1. n : {2...}
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : ℝ^n
5. r0 < ||b||
6. ∀b':ℝ^n
     ((b⋅b' = r0)
     ⇒ (||b'|| = ||b||)
     ⇒ ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2))
     ⇒ let c = ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2/r(2)) in
         let d = (||b||^2 * r1^2) - c^2 in
         ∀x:ℝ^n
           ((req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*c*b + rsqrt(d)*b') ∨ req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*c*b - rsqrt(d)*b'))
           ⇒ ((||x|| = r1) ∧ (||x - b|| = r2))))
⊢ ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2))
⇒ (∃u,v:ℝ^n
     (((||u|| = r1) ∧ (||u - b|| = r2))
     ∧ ((||v|| = r1) ∧ (||v - b|| = r2))
     ∧ (((r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)) ⇒ u ≠ v)))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}n:\{2...\}.  \mforall{}r1,r2:\{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\}  .  \mforall{}b:\mBbbR{}\^{}n.
    ((r0  <  ||b||)
    {}\mRightarrow{}  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2))
    {}\mRightarrow{}  (\mexists{}u,v:\mBbbR{}\^{}n
              (((||u||  =  r1)  \mwedge{}  (||u  -  b||  =  r2))
              \mwedge{}  ((||v||  =  r1)  \mwedge{}  (||v  -  b||  =  r2))
              \mwedge{}  (((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2\^{}2  <  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2))  {}\mRightarrow{}  u  \mneq{}  v))))


By

---

Latex:
(InstLemma  `rv-circle-circle-lemma`  []  THEN  (RepeatFor  5  ((ParallelLast'  THENA  Auto))  THENA  Auto))

---

Home Index