---

Step * 1 2 2 of Lemma rv-circle-circle-lemma3'


1. a : ℝ^2
2. b : ℝ^2
3. c : ℝ^2
4. d : ℝ^2
5. p : {p:ℝ^2| d(a;b) = d(a;p)} 
6. q : {q:ℝ^2| d(c;d) = d(c;q)} 
7. i : {x:ℝ^2| (d(c;p) = d(c;x)) ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
8. o : {y:ℝ^2| (d(a;q) = d(a;y)) ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
9. a ≠ c
10. d(c;p) = d(c;i)
11. ¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d))
12. d(a;q) = d(a;o)
13. ¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b))
14. ∀x,y,z:ℝ^2.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))
15. d(c;p) ≤ d(c;d)
16. d(a;q) ≤ d(a;b)
⊢ ∃u,v:{p:ℝ^2| (d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;p))} 
   (((d(a;o) < d(a;b)) ∧ (d(c;i) < d(c;d))) ⇒ (r2-left(u;c;a) ∧ r2-left(v;a;c)))
BY
{ (InstLemma `rv-circle-circle-lemma2\'` [⌜d(a;b)⌝;⌜d(c;d)⌝;⌜c - a⌝]⋅
   THENA (Auto THEN Fold `real-vec-dist` 0 THEN RWO "real-vec-dist-symmetry" 0 THEN Auto)
   ) }

1
1. a : ℝ^2
2. b : ℝ^2
3. c : ℝ^2
4. d : ℝ^2
5. p : {p:ℝ^2| d(a;b) = d(a;p)} 
6. q : {q:ℝ^2| d(c;d) = d(c;q)} 
7. i : {x:ℝ^2| (d(c;p) = d(c;x)) ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
8. o : {y:ℝ^2| (d(a;q) = d(a;y)) ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
9. a ≠ c
10. d(c;p) = d(c;i)
11. ¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d))
12. d(a;q) = d(a;o)
13. ¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b))
14. ∀x,y,z:ℝ^2.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))
15. d(c;p) ≤ d(c;d)
16. d(a;q) ≤ d(a;b)
⊢ (d(b;a)^2 - d(d;c)^2) + d(a;c)^2^2 ≤ (r(4) * d(a;c)^2 * d(b;a)^2)

2
1. a : ℝ^2
2. b : ℝ^2
3. c : ℝ^2
4. d : ℝ^2
5. p : {p:ℝ^2| d(a;b) = d(a;p)} 
6. q : {q:ℝ^2| d(c;d) = d(c;q)} 
7. i : {x:ℝ^2| (d(c;p) = d(c;x)) ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
8. o : {y:ℝ^2| (d(a;q) = d(a;y)) ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
9. a ≠ c
10. d(c;p) = d(c;i)
11. ¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d))
12. d(a;q) = d(a;o)
13. ¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b))
14. ∀x,y,z:ℝ^2.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))
15. d(c;p) ≤ d(c;d)
16. d(a;q) ≤ d(a;b)
17. ∃u,v:ℝ^2
     (((||u|| = d(a;b)) ∧ (||u - c - a|| = d(c;d)))
     ∧ ((||v|| = d(a;b)) ∧ (||v - c - a|| = d(c;d)))
     ∧ (((d(a;b)^2 - d(c;d)^2) + ||c - a||^2^2 < (r(4) * ||c - a||^2 * d(a;b)^2))
       ⇒ (r2-left(u;c - a;λi.r0) ∧ r2-left(v;λi.r0;c - a))))
⊢ ∃u,v:{p:ℝ^2| (d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;p))} 
   (((d(a;o) < d(a;b)) ∧ (d(c;i) < d(c;d))) ⇒ (r2-left(u;c;a) ∧ r2-left(v;a;c)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}\^{}2
2.  b  :  \mBbbR{}\^{}2
3.  c  :  \mBbbR{}\^{}2
4.  d  :  \mBbbR{}\^{}2
5.  p  :  \{p:\mBbbR{}\^{}2|  d(a;b)  =  d(a;p)\} 
6.  q  :  \{q:\mBbbR{}\^{}2|  d(c;d)  =  d(c;q)\} 
7.  i  :  \{x:\mBbbR{}\^{}2|  (d(c;p)  =  d(c;x))  \mwedge{}  (\mneg{}(c  \mneq{}  x  \mwedge{}  x  \mneq{}  d  \mwedge{}  (\mneg{}c-x-d)))\} 
8.  o  :  \{y:\mBbbR{}\^{}2|  (d(a;q)  =  d(a;y))  \mwedge{}  (\mneg{}(a  \mneq{}  y  \mwedge{}  y  \mneq{}  b  \mwedge{}  (\mneg{}a-y-b)))\} 
9.  a  \mneq{}  c
10.  d(c;p)  =  d(c;i)
11.  \mneg{}(c  \mneq{}  i  \mwedge{}  i  \mneq{}  d  \mwedge{}  (\mneg{}c-i-d))
12.  d(a;q)  =  d(a;o)
13.  \mneg{}(a  \mneq{}  o  \mwedge{}  o  \mneq{}  b  \mwedge{}  (\mneg{}a-o-b))
14.  \mforall{}x,y,z:\mBbbR{}\^{}2.    (d(x;y)  =  d(x;z)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  ||z  -  x||  =  d(x;y))
15.  d(c;p)  \mleq{}  d(c;d)
16.  d(a;q)  \mleq{}  d(a;b)
\mvdash{}  \mexists{}u,v:\{p:\mBbbR{}\^{}2|  (d(a;b)  =  d(a;p))  \mwedge{}  (d(c;d)  =  d(c;p))\} 
      (((d(a;o)  <  d(a;b))  \mwedge{}  (d(c;i)  <  d(c;d)))  {}\mRightarrow{}  (r2-left(u;c;a)  \mwedge{}  r2-left(v;a;c)))


By

---

Latex:
(InstLemma  `rv-circle-circle-lemma2\mbackslash{}'`  [\mkleeneopen{}d(a;b)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d(c;d)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c  -  a\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THENA  (Auto  THEN  Fold  `real-vec-dist`  0  THEN  RWO  "real-vec-dist-symmetry"  0  THEN  Auto)
  )

---

Home Index