---

Step * 1 of Lemma rv-circle-circle-lemma3


1. n : {2...}
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. d : ℝ^n
6. p : {p:ℝ^n| ab=ap} 
7. q : {q:ℝ^n| cd=cq} 
8. i : {x:ℝ^n| cp=cx ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
9. o : {y:ℝ^n| aq=ay ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
10. a ≠ c
11. cp=ci ∧ (¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d)))
12. aq=ao ∧ (¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b)))
⊢ ∃u,v:{p:ℝ^n| ab=ap ∧ cd=cp} . (((d(a;o) < d(a;b)) ∧ (d(c;i) < d(c;d))) ⇒ u ≠ v)
BY
{ All (Unfold `rv-congruent`) }

1
1. n : {2...}
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. d : ℝ^n
6. p : {p:ℝ^n| d(a;b) = d(a;p)} 
7. q : {q:ℝ^n| d(c;d) = d(c;q)} 
8. i : {x:ℝ^n| (d(c;p) = d(c;x)) ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
9. o : {y:ℝ^n| (d(a;q) = d(a;y)) ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
10. a ≠ c
11. (d(c;p) = d(c;i)) ∧ (¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d)))
12. (d(a;q) = d(a;o)) ∧ (¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b)))
⊢ ∃u,v:{p:ℝ^n| (d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;p))} . (((d(a;o) < d(a;b)) ∧ (d(c;i) < d(c;d))) ⇒ u ≠ v)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \{2...\}
2.  a  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  c  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  d  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  p  :  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ab=ap\} 
7.  q  :  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  cd=cq\} 
8.  i  :  \{x:\mBbbR{}\^{}n|  cp=cx  \mwedge{}  (\mneg{}(c  \mneq{}  x  \mwedge{}  x  \mneq{}  d  \mwedge{}  (\mneg{}c-x-d)))\} 
9.  o  :  \{y:\mBbbR{}\^{}n|  aq=ay  \mwedge{}  (\mneg{}(a  \mneq{}  y  \mwedge{}  y  \mneq{}  b  \mwedge{}  (\mneg{}a-y-b)))\} 
10.  a  \mneq{}  c
11.  cp=ci  \mwedge{}  (\mneg{}(c  \mneq{}  i  \mwedge{}  i  \mneq{}  d  \mwedge{}  (\mneg{}c-i-d)))
12.  aq=ao  \mwedge{}  (\mneg{}(a  \mneq{}  o  \mwedge{}  o  \mneq{}  b  \mwedge{}  (\mneg{}a-o-b)))
\mvdash{}  \mexists{}u,v:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  ab=ap  \mwedge{}  cd=cp\}  .  (((d(a;o)  <  d(a;b))  \mwedge{}  (d(c;i)  <  d(c;d)))  {}\mRightarrow{}  u  \mneq{}  v)


By

---

Latex:
All  (Unfold  `rv-congruent`)

---

Home Index