---

Step * 1 of Lemma second-deriv-implies-nonzero-on


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. g : I ⟶ℝ
5. h : I ⟶ℝ
6. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (h[x] = h[y]))
7. d(f[x])/dx = λx.g[x] on I
8. d(g[x])/dx = λx.h[x] on I
9. ∀x:{a:ℝ| a ∈ I} . (h[x] ≤ r0)
10. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (r0 < f[x]))
⊢ f[x]≠r0 for x ∈ I
BY
{ (BLemma `concave-positive-nonzero-on` THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. g : I ⟶ℝ
5. h : I ⟶ℝ
6. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (h[x] = h[y]))
7. d(f[x])/dx = λx.g[x] on I
8. d(g[x])/dx = λx.h[x] on I
9. ∀x:{a:ℝ| a ∈ I} . (h[x] ≤ r0)
10. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (r0 < f[x]))
11. x : ℝ
12. y : ℝ
13. x ∈ I
14. y ∈ I
15. x = y
⊢ f[x] = f[y]

2
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. g : I ⟶ℝ
5. h : I ⟶ℝ
6. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (h[x] = h[y]))
7. d(f[x])/dx = λx.g[x] on I
8. d(g[x])/dx = λx.h[x] on I
9. ∀x:{a:ℝ| a ∈ I} . (h[x] ≤ r0)
10. ∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (r0 < f[x]))
⊢ concave-on(I;x.f[x])

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  h  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (h[x]  =  h[y]))
7.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.g[x]  on  I
8.  d(g[x])/dx  =  \mlambda{}x.h[x]  on  I
9.  \mforall{}x:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  (h[x]  \mleq{}  r0)
10.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (r0  <  f[x]))
\mvdash{}  f[x]\mneq{}r0  for  x  \mmember{}  I


By

---

Latex:
(BLemma  `concave-positive-nonzero-on`  THEN  Auto)

---

Home Index