---

Step * 2 2 of Lemma sine-poly-approx-1


1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i} - sine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. n : ℕ
11. 0 ≤ n
12. r0 ≤ (x^(2 * n) + 1)/((2 * n) + 1)!
⊢ (x^(2 * (n + 1)) + 1)/((2 * (n + 1)) + 1)! ≤ (x^(2 * n) + 1)/((2 * n) + 1)!
BY
{ (Subst' ((2 * (n + 1)) + 1)! ~ ((2 * n) + 3) * ((2 * n) + 2) * ((2 * n) + 1)! 0
   THENA ((RW (AddrC [1] (LemmaC `fact_unroll_1`)) 0  THENW Auto)
          THEN (EqCD ORELSE Auto)
          THEN ((RW (AddrC [1] (LemmaC `fact_unroll_1`)) 0  THENW Auto) ORELSE Auto)
          THEN (EqCD ORELSE Auto)
          THEN Auto)
   ) }

1
1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i} - sine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. n : ℕ
11. 0 ≤ n
12. r0 ≤ (x^(2 * n) + 1)/((2 * n) + 1)!
⊢ (x^(2 * (n + 1)) + 1)/((2 * n) + 3) * ((2 * n) + 2) * ((2 * n) + 1)! ≤ (x^(2 * n) + 1)/((2 * n) + 1)!

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\} 
2.  k  :  \mBbbN{}
3.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
4.  k1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (r1/r(k1))  <  e
6.  N  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  i)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}i\}  -  sine(x)|  \mleq{}  (r1/r(k1))))
8.  |sine(x)  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}N\}|  \mleq{}  (r1/r(k1))
9.  \mneg{}(N  \mleq{}  k)
10.  n  :  \mBbbN{}
11.  0  \mleq{}  n
12.  r0  \mleq{}  (x\^{}(2  *  n)  +  1)/((2  *  n)  +  1)!
\mvdash{}  (x\^{}(2  *  (n  +  1))  +  1)/((2  *  (n  +  1))  +  1)!  \mleq{}  (x\^{}(2  *  n)  +  1)/((2  *  n)  +  1)!


By

---

Latex:
(Subst'  ((2  *  (n  +  1))  +  1)!  \msim{}  ((2  *  n)  +  3)  *  ((2  *  n)  +  2)  *  ((2  *  n)  +  1)!  0
  THENA  ((RW  (AddrC  [1]  (LemmaC  `fact\_unroll\_1`))  0    THENW  Auto)
                THEN  (EqCD  ORELSE  Auto)
                THEN  ((RW  (AddrC  [1]  (LemmaC  `fact\_unroll\_1`))  0    THENW  Auto)  ORELSE  Auto)
                THEN  (EqCD  ORELSE  Auto)
                THEN  Auto)
  )

---

Home Index