---

Step * 2 3 2 of Lemma sine-poly-approx-1


1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i} - sine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. lim i→∞.(x^2 * i)/((2 * i) + 1)! = r0
⊢ lim n→∞.(x^(2 * n) + 1)/((2 * n) + 1)! = r0
BY
{ (InstLemma `const-rmul-limit-with-bound` [⌜λ2i.(x^2 * i)/((2 * i) + 1)!⌝; ⌜r0⌝;⌜x⌝;⌜1⌝]⋅ THEN Auto) }

1
1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i} - sine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. lim i→∞.(x^2 * i)/((2 * i) + 1)! = r0
11. lim n→∞.x * (x^2 * n)/((2 * n) + 1)! = x * r0
⊢ lim n→∞.(x^(2 * n) + 1)/((2 * n) + 1)! = r0

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\} 
2.  k  :  \mBbbN{}
3.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
4.  k1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (r1/r(k1))  <  e
6.  N  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  i)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}i\}  -  sine(x)|  \mleq{}  (r1/r(k1))))
8.  |sine(x)  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}N\}|  \mleq{}  (r1/r(k1))
9.  \mneg{}(N  \mleq{}  k)
10.  lim  i\mrightarrow{}\minfty{}.(x\^{}2  *  i)/((2  *  i)  +  1)!  =  r0
\mvdash{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.(x\^{}(2  *  n)  +  1)/((2  *  n)  +  1)!  =  r0


By

---

Latex:
(InstLemma  `const-rmul-limit-with-bound`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}i.(x\^{}2  *  i)/((2  *  i)  +  1)!\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}1\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index