---

Step * of Lemma strictly-increasing-on-closed-interval2

∀a,b:ℝ. ∀f:[a, b] ⟶ℝ.
  ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y])))
  ⇒ f[x] strictly-increasing for x ∈ (a, b)
  ⇒ (∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((f[a] ≤ f[x]) ∧ (f[x] ≤ f[b])))
  ⇒ f[x] strictly-increasing for x ∈ [a, b])
BY
{ (InstLemma `strictly-increasing-on-closed-interval` []
   THEN RepeatFor 3 ((ParallelLast' THENA Auto))
   THEN (Assert (a, b) ⊆ [a, b]  BY
               (D 0 THEN Reduce 0 THEN Auto))
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN (ParallelOp -3 THENA Auto)
   THEN (D 0 THENA (Auto THEN All Reduce⋅ THEN Auto))
   THEN BackThruSomeHyp) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
6. f[x] strictly-increasing for x ∈ (a, b)
7. f[x] increasing for x ∈ [a, b] ⇒ f[x] strictly-increasing for x ∈ [a, b]
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((f[a] ≤ f[x]) ∧ (f[x] ≤ f[b]))
⊢ f[x] increasing for x ∈ [a, b]

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}a,b:\mBbbR{}.  \mforall{}f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
    ((\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y])))
    {}\mRightarrow{}  f[x]  strictly-increasing  for  x  \mmember{}  (a,  b)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  ((f[a]  \mleq{}  f[x])  \mwedge{}  (f[x]  \mleq{}  f[b])))
    {}\mRightarrow{}  f[x]  strictly-increasing  for  x  \mmember{}  [a,  b])


By

---

Latex:
(InstLemma  `strictly-increasing-on-closed-interval`  []
  THEN  RepeatFor  3  ((ParallelLast'  THENA  Auto))
  THEN  (Assert  (a,  b)  \msubseteq{}  [a,  b]    BY
                          (D  0  THEN  Reduce  0  THEN  Auto))
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  (ParallelOp  -3  THENA  Auto)
  THEN  (D  0  THENA  (Auto  THEN  All  Reduce\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  BackThruSomeHyp)

---

Home Index