---

Step * of Lemma DAlembert-equation-iff2

∀f:ℝ ⟶ ℝ
  ((∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y))))
   ∧ (∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y))))
   ∧ (∃u:ℝ
       ((r0 < u)
       ∧ (∃g,h:(-(u), u) ⟶ℝ
           (d(f(x))/dx = λx.g(x) on (-(u), u) ∧ d(g(x))/dx = λx.h(x) on (-(u), u) ∧ ((h(r0) ≤ r0) ∨ (r0 ≤ h(r0)))))))
  ⇐⇒ (∀x:ℝ. (f(x) = r0)) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x))))
BY
{ (InstLemma `DAlembert-equation-iff` [] THEN ParallelLast' THEN D 0 THEN (D 0 THENA (RepUR ``rfun-ap`` 0 THEN Auto))) }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. (∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y))))
⇐⇒ (∀x:ℝ. (f(x) = r0)) ∨ (¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x)))))
3. (∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y))))
∧ (∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y))))
∧ (∃u:ℝ
    ((r0 < u)
    ∧ (∃g,h:(-(u), u) ⟶ℝ
        (d(f(x))/dx = λx.g(x) on (-(u), u) ∧ d(g(x))/dx = λx.h(x) on (-(u), u) ∧ ((h(r0) ≤ r0) ∨ (r0 ≤ h(r0)))))))
⊢ (∀x:ℝ. (f(x) = r0)) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x)))

2
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. (∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y))))
⇐⇒ (∀x:ℝ. (f(x) = r0)) ∨ (¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x)))))
3. (∀x:ℝ. (f(x) = r0)) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x)))
⊢ (∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y))))
∧ (∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y))))
∧ (∃u:ℝ
    ((r0 < u)
    ∧ (∃g,h:(-(u), u) ⟶ℝ
        (d(f(x))/dx = λx.g(x) on (-(u), u) ∧ d(g(x))/dx = λx.h(x) on (-(u), u) ∧ ((h(r0) ≤ r0) ∨ (r0 ≤ h(r0)))))))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}f:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
    ((\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y))))
      \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((f(x  +  y)  +  f(x  -  y))  =  (r(2)  *  f(x)  *  f(y))))
      \mwedge{}  (\mexists{}u:\mBbbR{}
              ((r0  <  u)
              \mwedge{}  (\mexists{}g,h:(-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
                      (d(f(x))/dx  =  \mlambda{}x.g(x)  on  (-(u),  u)
                      \mwedge{}  d(g(x))/dx  =  \mlambda{}x.h(x)  on  (-(u),  u)
                      \mwedge{}  ((h(r0)  \mleq{}  r0)  \mvee{}  (r0  \mleq{}  h(r0)))))))
    \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  r0))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  cosh(c  *  x))))


By

---

Latex:
(InstLemma  `DAlembert-equation-iff`  []
  THEN  ParallelLast'
  THEN  D  0
  THEN  (D  0  THENA  (RepUR  ``rfun-ap``  0  THEN  Auto)))

---

Home Index