---

Step * 1 1 of Lemma DAlembert-equation-iff3


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
3. ∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f(x))/dx = λx.g(x) on (-(u), u)
9. d(g(x))/dx = λx.h(x) on (-(u), u)
10. (h(r0) < r0) ∨ (h(r0) = r0) ∨ (r0 < h(r0))
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x))))
⊢ (∀x:ℝ. (f(x) = r1)) ∨ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} . ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} . ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x))\000C)
BY
{ Assert ⌜∀c:ℝ. ((∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ⇒ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * -(c * rcos(c * x));λ2x.h x))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
3. ∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f(x))/dx = λx.g(x) on (-(u), u)
9. d(g(x))/dx = λx.h(x) on (-(u), u)
10. (h(r0) < r0) ∨ (h(r0) = r0) ∨ (r0 < h(r0))
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x))))
⊢ ∀c:ℝ. ((∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ⇒ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * -(c * rcos(c * x));λ2x.h x))

2
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
3. ∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f(x))/dx = λx.g(x) on (-(u), u)
9. d(g(x))/dx = λx.h(x) on (-(u), u)
10. (h(r0) < r0) ∨ (h(r0) = r0) ∨ (r0 < h(r0))
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x))))
12. ∀c:ℝ. ((∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ⇒ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * -(c * rcos(c * x));λ2x.h x))
⊢ (∀x:ℝ. (f(x) = r1)) ∨ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} . ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} . ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x))\000C)

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y)))
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((f(x  +  y)  +  f(x  -  y))  =  (r(2)  *  f(x)  *  f(y)))
4.  u  :  \mBbbR{}
5.  r0  <  u
6.  g  :  (-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  h  :  (-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
8.  d(f(x))/dx  =  \mlambda{}x.g(x)  on  (-(u),  u)
9.  d(g(x))/dx  =  \mlambda{}x.h(x)  on  (-(u),  u)
10.  (h(r0)  <  r0)  \mvee{}  (h(r0)  =  r0)  \mvee{}  (r0  <  h(r0))
11.  \mneg{}\mneg{}((\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  cosh(c  *  x))))
\mvdash{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  r1))
\mvee{}  (\mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\}  .  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(c  *  x)))
\mvee{}  (\mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\}  .  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  cosh(c  *  x)))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}c:\mBbbR{}
                    ((\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(c  *  x)))  {}\mRightarrow{}  rfun-eq((-(u),  u);\mlambda{}\msubtwo{}x.c  *  -(c  *  rcos(c  *  x));\mlambda{}\msubtwo{}x.h  x))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index