---

Step * 2 of Lemma DAlembert-equation-iff3


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. (∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y))))
⇐⇒ (∀x:ℝ. (f(x) = r0)) ∨ (¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x)))))
3. (∀x:ℝ. (f(x) = r0))
∨ (∀x:ℝ. (f(x) = r1))
∨ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} . ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x)))
∨ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} . ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x)))
⊢ (∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y))))
∧ (∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y))))
∧ (∃u:ℝ
    ((r0 < u)
    ∧ (∃g,h:(-(u), u) ⟶ℝ
        (d(f(x))/dx = λx.g(x) on (-(u), u)
        ∧ d(g(x))/dx = λx.h(x) on (-(u), u)
        ∧ ((h(r0) < r0) ∨ (h(r0) = r0) ∨ (r0 < h(r0)))))))
BY
{ (D 2
   THEN Thin 2
   THEN (D 2
         THENA (SplitOrHyps
                THEN Auto
                THEN (OrRight THENA Auto)
                THEN RemoveDoubleNegation
                THEN Auto
                THEN (OrLeft THEN Auto)
                THEN D 0 With ⌜r0⌝ 
                THEN Auto
                THEN (RWO "2" 0 THEN Auto)
                THEN nRNorm 0
                THEN Auto
                THEN RWO "rcos0" 0
                THEN Auto)
         )
   THEN Auto
   THEN All (Unfold `rfun-ap`)
   THEN D 0 With ⌜r1⌝ 
   THEN Auto
   THEN SplitOrHyps) }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x:ℝ. ((f x) = r0)
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
4. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
5. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
6. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
7. r0 < r1
⊢ ∃g,h:(-(r1), r1) ⟶ℝ
   (d(f x)/dx = λx.g x on (-(r1), r1)
   ∧ d(g x)/dx = λx.h x on (-(r1), r1)
   ∧ (((h r0) < r0) ∨ ((h r0) = r0) ∨ (r0 < (h r0))))

2
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x:ℝ. ((f x) = r1)
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
4. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
5. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
6. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
7. r0 < r1
⊢ ∃g,h:(-(r1), r1) ⟶ℝ
   (d(f x)/dx = λx.g x on (-(r1), r1)
   ∧ d(g x)/dx = λx.h x on (-(r1), r1)
   ∧ (((h r0) < r0) ∨ ((h r0) = r0) ∨ (r0 < (h r0))))

3
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∃c:{c:ℝ| r0 < c} . ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
4. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
5. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
6. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
7. r0 < r1
⊢ ∃g,h:(-(r1), r1) ⟶ℝ
   (d(f x)/dx = λx.g x on (-(r1), r1)
   ∧ d(g x)/dx = λx.h x on (-(r1), r1)
   ∧ (((h r0) < r0) ∨ ((h r0) = r0) ∨ (r0 < (h r0))))

4
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∃c:{c:ℝ| r0 < c} . ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
4. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
5. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
6. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
7. r0 < r1
⊢ ∃g,h:(-(r1), r1) ⟶ℝ
   (d(f x)/dx = λx.g x on (-(r1), r1)
   ∧ d(g x)/dx = λx.h x on (-(r1), r1)
   ∧ (((h r0) < r0) ∨ ((h r0) = r0) ∨ (r0 < (h r0))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y))))  \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((f(x  +  y)  +  f(x  -  y))  =  (r(2)  *  f(x)  *  f(y))))
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  r0))
        \mvee{}  (\mneg{}\mneg{}((\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  cosh(c  *  x)))))
3.  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  r0))
\mvee{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  r1))
\mvee{}  (\mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\}  .  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(c  *  x)))
\mvee{}  (\mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\}  .  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  cosh(c  *  x)))
\mvdash{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y))))
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((f(x  +  y)  +  f(x  -  y))  =  (r(2)  *  f(x)  *  f(y))))
\mwedge{}  (\mexists{}u:\mBbbR{}
        ((r0  <  u)
        \mwedge{}  (\mexists{}g,h:(-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
                (d(f(x))/dx  =  \mlambda{}x.g(x)  on  (-(u),  u)
                \mwedge{}  d(g(x))/dx  =  \mlambda{}x.h(x)  on  (-(u),  u)
                \mwedge{}  ((h(r0)  <  r0)  \mvee{}  (h(r0)  =  r0)  \mvee{}  (r0  <  h(r0)))))))


By

---

Latex:
(D  2
  THEN  Thin  2
  THEN  (D  2
              THENA  (SplitOrHyps
                            THEN  Auto
                            THEN  (OrRight  THENA  Auto)
                            THEN  RemoveDoubleNegation
                            THEN  Auto
                            THEN  (OrLeft  THEN  Auto)
                            THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{} 
                            THEN  Auto
                            THEN  (RWO  "2"  0  THEN  Auto)
                            THEN  nRNorm  0
                            THEN  Auto
                            THEN  RWO  "rcos0"  0
                            THEN  Auto)
              )
  THEN  Auto
  THEN  All  (Unfold  `rfun-ap`)
  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}r1\mkleeneclose{} 
  THEN  Auto
  THEN  SplitOrHyps)

---

Home Index