---

Step * 1 2 of Lemma DAlembert-equation-iff


1. ∀f:ℝ ⟶ ℝ
     (((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x))))
     ⇒ (((∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y)))))
        ∧ (f(r0) = r1)))
2. f : ℝ ⟶ ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y)))
5. f(r0) = r1
6. ∀x:ℝ. (f(-(x)) = f(x))
7. n : ℤ
8. y : ℝ
⊢ f(r(n + 1) * y) = ((r(2) * f(y) * f(r(n) * y)) - f(r(n - 1) * y))
BY
{ (Thin 1
   THEN InstHyp [⌜r(n) * y⌝;⌜y⌝] 3⋅
   THEN Auto
   THEN (Assert ((r(n) * y) + y) = (r(n + 1) * y) BY
               (nRNorm 0 THEN Auto))
   THEN (Assert ((r(n) * y) - y) = (r(n - 1) * y) BY
               (nRNorm 0 THEN Auto))
   THEN (RWO "-1 -2" (-3) THEN Auto)
   THEN Fold `rfun-ap` 0
   THEN BHyp 2 
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}f:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
          (((\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  cosh(c  *  x))))
          {}\mRightarrow{}  (((\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y))))
                \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((f(x  +  y)  +  f(x  -  y))  =  (r(2)  *  f(x)  *  f(y)))))
                \mwedge{}  (f(r0)  =  r1)))
2.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y)))
4.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((f(x  +  y)  +  f(x  -  y))  =  (r(2)  *  f(x)  *  f(y)))
5.  f(r0)  =  r1
6.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(-(x))  =  f(x))
7.  n  :  \mBbbZ{}
8.  y  :  \mBbbR{}
\mvdash{}  f(r(n  +  1)  *  y)  =  ((r(2)  *  f(y)  *  f(r(n)  *  y))  -  f(r(n  -  1)  *  y))


By

---

Latex:
(Thin  1
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}r(n)  *  y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}]  3\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (Assert  ((r(n)  *  y)  +  y)  =  (r(n  +  1)  *  y)  BY
                          (nRNorm  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  ((r(n)  *  y)  -  y)  =  (r(n  -  1)  *  y)  BY
                          (nRNorm  0  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "-1  -2"  (-3)  THEN  Auto)
  THEN  Fold  `rfun-ap`  0
  THEN  BHyp  2 
  THEN  Auto)

---

Home Index