---

Step * 1 4 1 of Lemma DAlembert-equation-iff


1. ∀f:ℝ ⟶ ℝ
     (((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x))))
     ⇒ (((∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y)))))
        ∧ (f(r0) = r1)))
2. ∀f:ℝ ⟶ ℝ
     (((∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y)))) ∧ (f(r0) = r1))
     ⇒ ((∀x:ℝ. (f(-(x)) = f(x)))
        ∧ (∀n:ℤ. ∀y:ℝ.  (f(r(n + 1) * y) = ((r(2) * f(y) * f(r(n) * y)) - f(r(n - 1) * y))))
        ∧ (∀t:ℝ. ((f((t/r(2))) * f((t/r(2)))) = (f(t) + r1/r(2))))))
3. f : ℝ ⟶ ℝ
4. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
5. ∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y)))
⊢ (∀x:ℝ. (f(x) = r0)) ∨ (¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x)))))
BY
{ ((Assert ∀x:ℝ. (f(x) = (f(x) * f(r0))) BY
          (ParallelLast
           THEN (InstHyp [⌜r0⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
           THEN (nRNorm (-1) THENA Auto)
           THEN Try ((Fold `rfun-ap` 0 THEN BHyp 4  THEN Auto))
           THEN nRMul ⌜r(2)⌝ 0⋅
           THEN Auto))
   THEN (Assert (f(r0) = r1) ∨ (f(r0) = r0) BY
               ((BLemma `square-req-self-iff` THENA Auto) THEN (RWO "-1<" 0 THEN Auto) THEN BHyp 4  THEN Auto))
   ) }

1
1. ∀f:ℝ ⟶ ℝ
     (((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x))))
     ⇒ (((∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y)))))
        ∧ (f(r0) = r1)))
2. ∀f:ℝ ⟶ ℝ
     (((∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y)))) ∧ (f(r0) = r1))
     ⇒ ((∀x:ℝ. (f(-(x)) = f(x)))
        ∧ (∀n:ℤ. ∀y:ℝ.  (f(r(n + 1) * y) = ((r(2) * f(y) * f(r(n) * y)) - f(r(n - 1) * y))))
        ∧ (∀t:ℝ. ((f((t/r(2))) * f((t/r(2)))) = (f(t) + r1/r(2))))))
3. f : ℝ ⟶ ℝ
4. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
5. ∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y)))
6. ∀x:ℝ. (f(x) = (f(x) * f(r0)))
7. (f(r0) = r1) ∨ (f(r0) = r0)
⊢ (∀x:ℝ. (f(x) = r0)) ∨ (¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}f:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
          (((\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  cosh(c  *  x))))
          {}\mRightarrow{}  (((\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y))))
                \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((f(x  +  y)  +  f(x  -  y))  =  (r(2)  *  f(x)  *  f(y)))))
                \mwedge{}  (f(r0)  =  r1)))
2.  \mforall{}f:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
          (((\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y))))
          \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((f(x  +  y)  +  f(x  -  y))  =  (r(2)  *  f(x)  *  f(y))))
          \mwedge{}  (f(r0)  =  r1))
          {}\mRightarrow{}  ((\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(-(x))  =  f(x)))
                \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbZ{}.  \mforall{}y:\mBbbR{}.    (f(r(n  +  1)  *  y)  =  ((r(2)  *  f(y)  *  f(r(n)  *  y))  -  f(r(n  -  1)  *  y))))
                \mwedge{}  (\mforall{}t:\mBbbR{}.  ((f((t/r(2)))  *  f((t/r(2))))  =  (f(t)  +  r1/r(2))))))
3.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
4.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y)))
5.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((f(x  +  y)  +  f(x  -  y))  =  (r(2)  *  f(x)  *  f(y)))
\mvdash{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  r0))
\mvee{}  (\mneg{}\mneg{}((\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  cosh(c  *  x)))))


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  (f(x)  *  f(r0)))  BY
                (ParallelLast
                  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  (nRNorm  (-1)  THENA  Auto)
                  THEN  Try  ((Fold  `rfun-ap`  0  THEN  BHyp  4    THEN  Auto))
                  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(2)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  (f(r0)  =  r1)  \mvee{}  (f(r0)  =  r0)  BY
                          ((BLemma  `square-req-self-iff`  THENA  Auto)
                            THEN  (RWO  "-1<"  0  THEN  Auto)
                            THEN  BHyp  4 
                            THEN  Auto))
  )

---

Home Index