---

Step * 2 of Lemma Legendre-annihilates-rpolynomial


1. [n] : ℕ
2. [f] : [r(-1), r1] ⟶ℝ
3. [%] : ∃k:ℕn. ∃a:ℕk + 1 ⟶ ℝ. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [r(-1), r1]} . ((f x) = (Σi≤k. a_i * x^i))
4. λx.((f x) * Legendre(n;x)) ∈ {f:[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)])} 
⊢ r(-1)_∫-r1 (f x) * Legendre(n;x) dx = r0
BY
{ ((Unhide THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN (InstLemma `Legendre-orthogonal-rpolynomial` [⌜n⌝;⌜k⌝;⌜a⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (Subst' (k =z n) ~ ff -1 THENA Auto)
   THEN Reduce -1
   THEN Assert ⌜r(-1)_∫-r1 (f x) * Legendre(n;x) dx = r(-1)_∫-r1 (Σi≤k. a_i * x^i) * Legendre(n;x) dx⌝⋅) }

1
.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. f : [r(-1), r1] ⟶ℝ
3. k : ℕn
4. a : ℕk + 1 ⟶ ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [r(-1), r1]} . ((f x) = (Σi≤k. a_i * x^i))
6. λx.((f x) * Legendre(n;x)) ∈ {f:[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)])} 
7. r(-1)_∫-r1 (Σi≤k. a_i * x^i) * Legendre(n;x) dx = r0
⊢ r(-1)_∫-r1 (f x) * Legendre(n;x) dx = r(-1)_∫-r1 (Σi≤k. a_i * x^i) * Legendre(n;x) dx

2
1. n : ℕ
2. f : [r(-1), r1] ⟶ℝ
3. k : ℕn
4. a : ℕk + 1 ⟶ ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [r(-1), r1]} . ((f x) = (Σi≤k. a_i * x^i))
6. λx.((f x) * Legendre(n;x)) ∈ {f:[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)])} 
7. r(-1)_∫-r1 (Σi≤k. a_i * x^i) * Legendre(n;x) dx = r0
8. r(-1)_∫-r1 (f x) * Legendre(n;x) dx = r(-1)_∫-r1 (Σi≤k. a_i * x^i) * Legendre(n;x) dx
⊢ r(-1)_∫-r1 (f x) * Legendre(n;x) dx = r0

---

Latex:

---

Latex:

1.  [n]  :  \mBbbN{}
2.  [f]  :  [r(-1),  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  [\%]  :  \mexists{}k:\mBbbN{}n.  \mexists{}a:\mBbbN{}k  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r(-1),  r1]\}  .  ((f  x)  =  (\mSigma{}i\mleq{}k.  a\_i  *  x\^{}i))
4.  \mlambda{}x.((f  x)  *  Legendre(n;x))  \mmember{}  \{f:[rmin(r(-1);r1),  rmax(r(-1);r1)]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}| 
                                                                  ifun(f;[rmin(r(-1);r1),  rmax(r(-1);r1)])\} 
\mvdash{}  r(-1)\_\mint{}\msupminus{}r1  (f  x)  *  Legendre(n;x)  dx  =  r0


By

---

Latex:
((Unhide  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (InstLemma  `Legendre-orthogonal-rpolynomial`  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}k\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  (k  =\msubz{}  n)  \msim{}  ff  -1  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  -1
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}r(-1)\_\mint{}\msupminus{}r1  (f  x)  *  Legendre(n;x)  dx  =  r(-1)\_\mint{}\msupminus{}r1  (\mSigma{}i\mleq{}k.  a\_i  *  x\^{}i)  *  Legendre(n;x)  dx\mkleeneclose{}
  \mcdot{})

---

Home Index