---

Step * of Lemma Legendre-orthogonal

∀[n,k:ℕ].
  r(-1)_∫-r1 x^k * Legendre(n;x) dx = if (k =z n) then (r(2 * (n)!)/r(doublefact((2 * n) + 1))) else r0 fi  
  supposing k ≤ n
BY
{ (CompleteInductionOnNat
   THEN (CaseNat 0 `n'
         THENL [(Reduce 0 THEN (Auto THEN (Subst' k ~ 0 0 THENA Auto)) THEN Reduce 0)
               ; (CaseNat 1 `n' THENL [Reduce 0; Id])]
        )
   ) }

1
1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn
     ∀[k:ℕ]
       r(-1)_∫-r1 x^k * Legendre(n;x) dx = if (k =z n) then (r(2 * (n)!)/r(doublefact((2 * n) + 1))) else r0 fi  
       supposing k ≤ n
3. n = 0 ∈ ℤ
4. k : ℕ
5. k ≤ 0
⊢ r(-1)_∫-r1 r1 * r1 dx = (r(2)/r(doublefact(1)))

2
1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn
     ∀[k:ℕ]
       r(-1)_∫-r1 x^k * Legendre(n;x) dx = if (k =z n) then (r(2 * (n)!)/r(doublefact((2 * n) + 1))) else r0 fi  
       supposing k ≤ n
3. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
4. n = 1 ∈ ℤ
⊢ ∀[k:ℕ]. r(-1)_∫-r1 x^k * x dx = if (k =z 1) then (r(2 * (1)!)/r(doublefact(3))) else r0 fi  supposing k ≤ 1

3
1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn
     ∀[k:ℕ]
       r(-1)_∫-r1 x^k * Legendre(n;x) dx = if (k =z n) then (r(2 * (n)!)/r(doublefact((2 * n) + 1))) else r0 fi  
       supposing k ≤ n
3. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
4. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
⊢ ∀[k:ℕ]
    r(-1)_∫-r1 x^k * Legendre(n;x) dx = if (k =z n) then (r(2 * (n)!)/r(doublefact((2 * n) + 1))) else r0 fi  
    supposing k ≤ n

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[n,k:\mBbbN{}].
    r(-1)\_\mint{}\msupminus{}r1  x\^{}k  *  Legendre(n;x)  dx
    =  if  (k  =\msubz{}  n)  then  (r(2  *  (n)!)/r(doublefact((2  *  n)  +  1)))  else  r0  fi   
    supposing  k  \mleq{}  n


By

---

Latex:
(CompleteInductionOnNat
  THEN  (CaseNat  0  `n'
              THENL  [(Reduce  0  THEN  (Auto  THEN  (Subst'  k  \msim{}  0  0  THENA  Auto))  THEN  Reduce  0)
                          ;  (CaseNat  1  `n'  THENL  [Reduce  0;  Id])]
            )
  )

---

Home Index