---

Step * of Lemma Legendre-rminus

∀n:ℕ. ∀x:ℝ.  (Legendre(n;-(x)) = (r(-1)^n * Legendre(n;x)))
BY
{ (CompleteInductionOnNat
   THEN (CaseNat 0 `n'
         THENL [(Reduce 0 THEN Auto)
               ; (CaseNat 1 `n'
                  THENL [(Reduce 0 THEN Auto THEN RWO  "rnexp1" 0 THEN Auto)
                        ; ((D 0 THENA Auto)
                           THEN (Unfold `Legendre` 0 THEN AutoSplit)
                           THEN (RWO "2" 0 THENA Auto)
                           THEN GenConclTerms Auto [⌜Legendre(n - 1;x)⌝;⌜Legendre(n - 2;x)⌝;⌜(2 * n) - 1⌝]⋅
                           THEN RenameVar `m' (-2)
                           THEN (RWO "int-rdiv-req" 0 THENA Auto))]
               )]
        )
   ) }

1
1. n : {1...}
2. ∀n:ℕn. ∀x:ℝ.  (Legendre(n;-(x)) = (r(-1)^n * Legendre(n;x)))
3. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
4. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
5. x : ℝ
6. v : ℝ
7. Legendre(n - 1;x) = v ∈ ℝ
8. v1 : ℝ
9. Legendre(n - 2;x) = v1 ∈ ℝ
10. m : ℤ
11. ((2 * n) - 1) = m ∈ ℤ
⊢ (m * -(x) * r(-1)^n - 1 * v - n - 1 * r(-1)^n - 2 * v1/r(n)) = (r(-1)^n * (m * x * v - n - 1 * v1/r(n)))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.    (Legendre(n;-(x))  =  (r(-1)\^{}n  *  Legendre(n;x)))


By

---

Latex:
(CompleteInductionOnNat
  THEN  (CaseNat  0  `n'
              THENL  [(Reduce  0  THEN  Auto)
                          ;  (CaseNat  1  `n'
                                THENL  [(Reduce  0  THEN  Auto  THEN  RWO    "rnexp1"  0  THEN  Auto)
                                            ;  ((D  0  THENA  Auto)
                                                  THEN  (Unfold  `Legendre`  0  THEN  AutoSplit)
                                                  THEN  (RWO  "2"  0  THENA  Auto)
                                                  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}Legendre(n  -  1;x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}Legendre(n  -  2;x)\mkleeneclose{};
                                                  \mkleeneopen{}(2  *  n)  -  1\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                                  THEN  RenameVar  `m'  (-2)
                                                  THEN  (RWO  "int-rdiv-req"  0  THENA  Auto))]
                          )]
            )
  )

---

Home Index