---

Step * 1 of Lemma Legendre-roots-sq


1. n : ℤ
2. z : i:ℕn - 1 ⟶ {x:ℝ| 
                    (x ∈ (r(-1), r1))
                    ∧ (Legendre(n - 1;x) = r0)
                    ∧ (r0 < (r((-1)^(n - 1 - i)) * Legendre((n - 1) + 1;x)))} 
3. ∀i:ℕn - 2. ((z i) < (z (i + 1)))
4. 2 ≤ n
⊢ ∃z:i:ℕn ⟶ {x:ℝ| (x ∈ (r(-1), r1)) ∧ (Legendre(n;x) = r0) ∧ (r0 < (r((-1)^(n - i)) * Legendre(n + 1;x)))} 
[(∀i:ℕn - 1. ((z i) < (z (i + 1))))]
BY
{ (Assert ∀a,b:ℝ.
            rational_fun_zero(λx.ratLegendre(n;x);a;b) ∈ {c:ℝ| (c ∈ (a, b)) ∧ (Legendre(n;c) = r0)}  supposing (a < b) ∧\000C ((Legendre(n;a) * Legendre(n;b)) < r0) BY
         (Intros
          THEN InstLemma `rational_fun_zero_wf` [⌜a⌝;⌜b⌝;⌜λ2x.ratLegendre(n;x)⌝;⌜λ2x.Legendre(n;x)⌝]⋅
          THEN Auto
          THEN RWO "ratreal-ratLegendre" 0
          THEN Auto)) }

1
1. n : ℤ
2. z : i:ℕn - 1 ⟶ {x:ℝ| 
                    (x ∈ (r(-1), r1))
                    ∧ (Legendre(n - 1;x) = r0)
                    ∧ (r0 < (r((-1)^(n - 1 - i)) * Legendre((n - 1) + 1;x)))} 
3. ∀i:ℕn - 2. ((z i) < (z (i + 1)))
4. 2 ≤ n
5. ∀a,b:ℝ.  rational_fun_zero(λx.ratLegendre(n;x);a;b) ∈ {c:ℝ| (c ∈ (a, b)) ∧ (Legendre(n;c) = r0)}  supposing (a < b) ∧\000C ((Legendre(n;a) * Legendre(n;b)) < r0)
⊢ ∃z:i:ℕn ⟶ {x:ℝ| (x ∈ (r(-1), r1)) ∧ (Legendre(n;x) = r0) ∧ (r0 < (r((-1)^(n - i)) * Legendre(n + 1;x)))} 
[(∀i:ℕn - 1. ((z i) < (z (i + 1))))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbZ{}
2.  z  :  i:\mBbbN{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}| 
                                        (x  \mmember{}  (r(-1),  r1))
                                        \mwedge{}  (Legendre(n  -  1;x)  =  r0)
                                        \mwedge{}  (r0  <  (r((-1)\^{}(n  -  1  -  i))  *  Legendre((n  -  1)  +  1;x)))\} 
3.  \mforall{}i:\mBbbN{}n  -  2.  ((z  i)  <  (z  (i  +  1)))
4.  2  \mleq{}  n
\mvdash{}  \mexists{}z:i:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}| 
                            (x  \mmember{}  (r(-1),  r1))
                            \mwedge{}  (Legendre(n;x)  =  r0)
                            \mwedge{}  (r0  <  (r((-1)\^{}(n  -  i))  *  Legendre(n  +  1;x)))\}    [(\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  1.  ((z  i)  <  (z  (i  +  1))))]


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.
                    rational\_fun\_zero(\mlambda{}x.ratLegendre(n;x);a;b)  \mmember{}  \{c:\mBbbR{}|  (c  \mmember{}  (a,  b))  \mwedge{}  (Legendre(n;c)  =  r0)\}   
                    supposing  (a  <  b)  \mwedge{}  ((Legendre(n;a)  *  Legendre(n;b))  <  r0)  BY
              (Intros
                THEN  InstLemma  `rational\_fun\_zero\_wf`  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.ratLegendre(n;x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.Legendre(n;x)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                THEN  Auto
                THEN  RWO  "ratreal-ratLegendre"  0
                THEN  Auto))

---

Home Index